Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{3 x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

Étape 1.2

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{x} + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

Étape 2

Comme $\cos (x) \leq \frac{\sin (x)}{x} \leq 1$ et $lim_{x \to 0} \cos (x) = lim_{x \to 0} 1 = 1$ , appliquez le théorème des gendarmes.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + lim_{x \to 0} \frac{2 x}{3 \sin (x)}$

Étape 3

Placez le terme $\frac{2}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 4.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.3.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Étape 4.1.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 4.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 4.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 4.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 5.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot 1 + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.1.1

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{\cos (0)}$

Étape 7.1.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (0)}$ à $\sec (0)$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \sec (0)$

Étape 7.1.3

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3} \cdot 1$

Étape 7.1.4

Multipliez $\frac{2}{3}$ par $1$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2}{3}$

Étape 7.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + 2}{3}$

Étape 7.3

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3}{3}$

Étape 7.4

Divisez $3$ par $3$ .

$1$