Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{x \csc (2 x)}{\cos (5 x)}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Étape 1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Étape 1.3

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \csc (2 x)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Étape 3

Regardez la limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} x \csc (2 x)$

Étape 4

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $x \csc (2 x)$ lorsque $x$ approche de $0$ par la gauche.

$\begin{array}{c} x & x \csc (2 x) \\ - 0.1 & 0.50334895 \\ - 0.01 & 0.50003333 \\ - 0.001 & 0.50000033 \end{array}$

Étape 5

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $0.5$ . Ainsi, la limite de $x \csc (2 x)$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté gauche est $0.5$ .

$0.5$

Étape 6

Regardez la limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} x \csc (2 x)$

Étape 7

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $x \csc (2 x)$ lorsque $x$ approche de $0$ par la droite.

$\begin{array}{c} x & x \csc (2 x) \\ 0.1 & 0.50334895 \\ 0.01 & 0.50003333 \\ 0.001 & 0.50000033 \end{array}$

Étape 8

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $0.5$ . Ainsi, la limite de $x \csc (2 x)$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit est $0.5$ .

$\frac{0.5}{\cos (5 \cdot 0)}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

Séparez les fractions.

$\frac{0.5}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$

Étape 9.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (5 \cdot 0)}$ à $\sec (5 \cdot 0)$ .

$\frac{0.5}{1} \sec (5 \cdot 0)$

Étape 9.3

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{0.5}{1} \sec (0)$

Étape 9.4

Annulez le facteur commun de $0.5$ .

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Étape 9.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{0.5}{1} \sec (0)$

Étape 9.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sec (0)}{2}$

Étape 9.5

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$