Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (- \frac{π x}{2})}{2 x}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (- \frac{π x}{2})}{x}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (- \frac{π x}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} - \frac{π x}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.2

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (- lim_{x \to 0} \frac{π x}{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.3

Placez le terme $\frac{π}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (- \frac{π}{2} lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (- \frac{π}{2} \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (- 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{2} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (- \frac{π x}{2})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (- \frac{π x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (- \frac{π x}{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = - \frac{π x}{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $- \frac{π x}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [- \frac{π x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [- \frac{π x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- \frac{π x}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) \frac{d}{d x} [- \frac{π x}{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3

Comme $- \frac{π}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{π x}{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) \cdot - 1 \frac{π}{2} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4

Associez $\cos (- \frac{π x}{2})$ et $\frac{π}{2}$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) π}{2} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) π}{2} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (- \frac{π x}{2}) π}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.7.1

Comme $\cos (- \frac{π x}{2})$ est une fonction paire, réécrivez $\cos (- \frac{π x}{2})$ comme $\cos (\frac{π x}{2})$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{\cos (\frac{π x}{2}) π}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.7.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\cos (\frac{π x}{2}) π$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{- \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2}}{1}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} - \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2} \cdot 1$

Étape 2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} - \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 lim_{x \to 0} \frac{π \cos (\frac{π x}{2})}{2}$

Étape 3.2

Placez le terme $\frac{π}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{π}{2} lim_{x \to 0} \cos (\frac{π x}{2})$

Étape 3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{π}{2} \cos (lim_{x \to 0} \frac{π x}{2})$

Étape 3.4

Placez le terme $\frac{π}{2}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2} lim_{x \to 0} x)$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot - 1 \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{- 1}{2} \cdot \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

Étape 5.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

Étape 5.3

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot \frac{π}{2}$ .

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Étape 5.3.1

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{π}{2 \cdot 2} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

Étape 5.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- \frac{π}{4} \cos (\frac{π}{2} \cdot 0)$

Étape 5.4

Multipliez $\frac{π}{2}$ par $0$ .

$- \frac{π}{4} \cos (0)$

Étape 5.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- \frac{π}{4} \cdot 1$

Étape 5.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{π}{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{π}{4}$

Forme décimale :

$- 0.78539816 \dots$