Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} - \frac{1}{| x |}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{| x |}{| x |}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{| x |}{| x |} - \frac{1}{| x |}$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{1}{| x |}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \cdot \frac{| x |}{| x |} - \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x | x |$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{| x |}{| x |}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{| x |}{x | x |} - \frac{1}{| x |} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{1}{| x |}$ par $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{| x |}{x | x |} - \frac{x}{| x | x}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $| x | x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{| x |}{x | x |} - \frac{x}{x | x |}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{| x | - x}{x | x |}$

Étape 2

Regardez la limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{| x | - x}{x | x |}$

Étape 3

Comme les valeurs $x$ approchent de $0$ par la gauche, les valeurs de la fonction diminuent sans borne.

$- \infty$

Étape 4

Regardez la limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{| x | - x}{x | x |}$

Étape 5

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\frac{| x | - x}{x | x |}$ lorsque $x$ approche de $0$ par la droite.

$\begin{array}{c} x & \frac{| x | - x}{x | x |} \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & 0 \\ 0.001 & 0 \end{array}$

Étape 6

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $0$ . Ainsi, la limite de $\frac{| x | - x}{x | x |}$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit est $0$ .

$0$

Étape 7

Comme les limites côté gauche et côté droit ne sont pas égales, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$