Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x - \tan (x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} x - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Étape 1.1.2.3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0 - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Étape 1.1.2.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.4.1.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Étape 1.1.2.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Étape 1.1.2.4.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \tan (x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \tan (x)}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0 - \tan (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0 - \tan (0)}$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.4.1.1

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Étape 1.1.3.4.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 1.1.3.4.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x - \sin (x)}{x - \tan (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

Étape 1.3.4.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x - \tan (x)]}$

Étape 1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \tan (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \tan (x)]}$

Étape 1.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \tan (x)]$ .

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Étape 1.3.7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \tan (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{1 - \frac{d}{d x} [\tan (x)]}$

Étape 1.3.7.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{1 - \sec^{2} (x)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Étape 2.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \sec^{2} (x)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Étape 2.1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)}$

Étape 2.1.3.1.3

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{1 - {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}}$

Étape 2.1.3.1.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 - \sec^{2} (0)}$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.3.1

Remettez dans l’ordre $1$ et $- \sec^{2} (0)$ .

$\frac{0}{- \sec^{2} (0) + 1}$

Étape 2.1.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (0)$ .

$\frac{0}{- (\sec^{2} (0)) + 1}$

Étape 2.1.3.3.3

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$\frac{0}{- \sec^{2} (0) - 1 \cdot - 1}$

Étape 2.1.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- \sec^{2} (0) - 1 \cdot - 1$ .

$\frac{0}{- (\sec^{2} (0) - 1)}$

Étape 2.1.3.3.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\frac{0}{- \tan^{2} (0)}$

Étape 2.1.3.3.6

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{- 0^{2}}$

Étape 2.1.3.3.7

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{- 0}$

Étape 2.1.3.3.8

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.3.9

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (x)}{1 - \sec^{2} (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Étape 2.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Étape 2.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Étape 2.3.4.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Étape 2.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Étape 2.3.4.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Étape 2.3.5

Additionnez $0$ et $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [1 - \sec^{2} (x)]}$

Étape 2.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \sec^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]}$

Étape 2.3.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 + \frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]}$

Étape 2.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sec^{2} (x)]$ .

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Étape 2.3.8.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sec^{2} (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - \frac{d}{d x} [\sec^{2} (x)]}$

Étape 2.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \sec (x)$ .

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Étape 2.3.8.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Étape 2.3.8.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 u \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Étape 2.3.8.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\sec (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 \sec (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)])}$

Étape 2.3.8.3

La dérivée de $\sec (x)$ par rapport à $x$ est $\sec (x) \tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 \sec (x) (\sec (x) \tan (x)))}$

Étape 2.3.8.4

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 (\sec^{1} (x) \sec (x)) \tan (x))}$

Étape 2.3.8.5

Élevez $\sec (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 (\sec^{1} (x) \sec^{1} (x)) \tan (x))}$

Étape 2.3.8.6

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 {\sec (x)}^{1 + 1} \tan (x))}$

Étape 2.3.8.7

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - (2 \sec^{2} (x) \tan (x))}$

Étape 2.3.8.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{0 - 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Étape 2.3.9

Simplifiez

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Étape 2.3.9.1

Soustrayez $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 \sec^{2} (x) \tan (x)}$

Étape 2.3.9.2

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \tan (x)}$

Étape 2.3.9.3

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}$

Étape 2.3.9.4

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- 2 \frac{1}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}$

Étape 2.3.9.5

Associez $- 2$ et $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{\frac{- 2}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}$

Étape 2.3.9.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{2}{\cos^{2} (x)} \tan (x)}$

Étape 2.3.9.7

Réécrivez $\tan (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}}$

Étape 2.3.9.8

Multipliez $- \frac{2}{\cos^{2} (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Étape 2.3.9.8.1

Multipliez $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ par $\frac{2}{\cos^{2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos (x) \cos^{2} (x)}}$

Étape 2.3.9.8.2

Multipliez $\cos (x)$ par $\cos^{2} (x)$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.9.8.2.1

Multipliez $\cos (x)$ par $\cos^{2} (x)$ .

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Étape 2.3.9.8.2.1.1

Élevez $\cos (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos^{1} (x) \cos^{2} (x)}}$

Étape 2.3.9.8.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{\sin (x) \cdot 2}{{\cos (x)}^{1 + 2}}}$

Étape 2.3.9.8.2.2

Additionnez $1$ et $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{\sin (x) \cdot 2}{\cos^{3} (x)}}$

Étape 2.3.9.9

Déplacez $2$ à gauche de $\sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x)}{- \frac{2 \sin (x)}{\cos^{3} (x)}}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} \sin (x) (- \frac{\cos^{3} (x)}{2 \sin (x)})$

Étape 2.5

Associez $\sin (x)$ et $\frac{\cos^{3} (x)}{2 \sin (x)}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x) \cos^{3} (x)}{2 \sin (x)}$

Étape 2.6

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 2.6.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} - \frac{\sin (x) \cos^{3} (x)}{2 \sin (x)}$

Étape 2.6.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} - \frac{\cos^{3} (x)}{2}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{\cos^{3} (x)}{2}$

Étape 3.2

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- \frac{1}{2} lim_{x \to 0} \cos^{3} (x)$

Étape 3.3

Déplacez l’exposant $3$ de $\cos^{3} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$- \frac{1}{2} {(lim_{x \to 0} \cos (x))}^{3}$

Étape 3.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$- \frac{1}{2} \cos^{3} (lim_{x \to 0} x)$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- \frac{1}{2} \cos^{3} (0)$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- \frac{1}{2} \cdot 1^{3}$

Étape 5.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$- \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 5.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$- 0.5$