Calcul infinitésimal Exemples

lim_{x \to 0} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}

$lim_{x \to 0} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Étape 1

Définissez la limite comme une limite côté gauche.

lim_{x \to 0^{-}} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}

$lim_{x \to 0^{-}} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Étape 2

Évaluez les limites en insérant la valeur de la variable.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Évaluez la limite de

1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}

$1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$ en insérant

0

$0$ pour

x

$x$ .

1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\cot (0)}

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\cot (0)}$

Étape 2.2

Réécrivez

\cot (0)

$\cot (0)$ en termes de sinus et de cosinus.

1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}$

Étape 2.3

La valeur exacte de

\sin (0)

$\sin (0)$ est

0

$0$ .

1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{0}}

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{0}}$

Étape 2.4

Comme

1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{0}}

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{0}}$ est indéfini, la limite n’existe pas.

N’existe pas

$N’existe pas$

N’existe pas

$N’existe pas$

Étape 3

Définissez la limite comme une limite côté droit.

lim_{x \to 0^{+}} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}

$lim_{x \to 0^{+}} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Étape 4

Évaluez la limite côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque

x

$x$ approche de

0

$0$ .

lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}

$lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite de

1

$1$ qui est constante lorsque

x

$x$ approche de

0

$0$ .

1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}

$1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}

$1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Étape 4.2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Réécrivez

{\sin (4 x)}^{\cot (x)}

${\sin (4 x)}^{\cot (x)}$ comme

e^{\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})}

$e^{\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})}$ .

1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})}

$1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})}$

Étape 4.2.2

Développez

\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})

$\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})$ en déplaçant

\cot (x)

$\cot (x)$ hors du logarithme.

1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}

$1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}$

1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}

$1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}$

Étape 4.3

Comme l’exposant

\cot (x) \ln (\sin (4 x))

$\cot (x) \ln (\sin (4 x))$ approche de

- \infty

$- \infty$ , la quantité

e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}

$e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}$ approche de

0

$0$ .

1 + 0

$1 + 0$

Étape 4.4

Additionnez

1

$1$ et

0

$0$ .

1

$1$

1

$1$

Étape 5

Si l’une des limites d’un côté n’existe pas, la limite n’existe pas.

N’existe pas

$N’existe pas$