Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Étape 1

Définissez la limite comme une limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Étape 2

Évaluez les limites en insérant la valeur de la variable.

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Étape 2.1

Évaluez la limite de $1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$ en insérant $0$ pour $x$ .

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\cot (0)}$

Étape 2.2

Réécrivez $\cot (0)$ en termes de sinus et de cosinus.

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{\sin (0)}}$

Étape 2.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{0}}$

Étape 2.4

Comme $1 + {\sin (4 \cdot 0)}^{\frac{\cos (0)}{0}}$ est indéfini, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$

Étape 3

Définissez la limite comme une limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} 1 + {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Étape 4

Évaluez la limite côté droit.

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Étape 4.1

Évaluez la limite.

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Étape 4.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$lim_{x \to 0^{+}} 1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$1 + lim_{x \to 0^{+}} {\sin (4 x)}^{\cot (x)}$

Étape 4.2

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 4.2.1

Réécrivez ${\sin (4 x)}^{\cot (x)}$ comme $e^{\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})}$ .

$1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})}$

Étape 4.2.2

Développez $\ln ({\sin (4 x)}^{\cot (x)})$ en déplaçant $\cot (x)$ hors du logarithme.

$1 + lim_{x \to 0^{+}} e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}$

Étape 4.3

Comme l’exposant $\cot (x) \ln (\sin (4 x))$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{\cot (x) \ln (\sin (4 x))}$ approche de $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.4

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5

Si l’une des limites d’un côté n’existe pas, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$