Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x^{3} + 1} - \sqrt[4]{x^{4} + 1}$

Étape 1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x^{3} + 1} - lim_{x \to 8} \sqrt[4]{x^{4} + 1}$

Étape 2

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x^{3} + 1} - lim_{x \to 8} \sqrt[4]{x^{4} + 1}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 1} - lim_{x \to 8} \sqrt[4]{x^{4} + 1}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 1} - lim_{x \to 8} \sqrt[4]{x^{4} + 1}$

Étape 5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1} - lim_{x \to 8} \sqrt[4]{x^{4} + 1}$

Étape 6

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1} - \sqrt[4]{lim_{x \to 8} x^{4} + 1}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1} - \sqrt[4]{lim_{x \to 8} x^{4} + lim_{x \to 8} 1}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $4$ de $x^{4}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1} - \sqrt[4]{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + lim_{x \to 8} 1}$

Étape 9

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $8$ .

$\sqrt[3]{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1} - \sqrt[4]{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 1}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $8$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt[3]{8^{3} + 1} - \sqrt[4]{{(lim_{x \to 8} x)}^{4} + 1}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $8$ pour $x$ .

$\sqrt[3]{8^{3} + 1} - \sqrt[4]{8^{4} + 1}$

Étape 11

Simplifiez chaque terme.

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Étape 11.1

Élevez $8$ à la puissance $3$ .

$\sqrt[3]{512 + 1} - \sqrt[4]{8^{4} + 1}$

Étape 11.2

Additionnez $512$ et $1$ .

$\sqrt[3]{513} - \sqrt[4]{8^{4} + 1}$

Étape 11.3

Réécrivez $513$ comme $3^{3} \cdot 19$ .

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Étape 11.3.1

Factorisez $27$ à partir de $513$ .

$\sqrt[3]{27 (19)} - \sqrt[4]{8^{4} + 1}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $27$ comme $3^{3}$ .

$\sqrt[3]{3^{3} \cdot 19} - \sqrt[4]{8^{4} + 1}$

Étape 11.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$3 \sqrt[3]{19} - \sqrt[4]{8^{4} + 1}$

Étape 11.5

Élevez $8$ à la puissance $4$ .

$3 \sqrt[3]{19} - \sqrt[4]{4096 + 1}$

Étape 11.6

Additionnez $4096$ et $1$ .

$3 \sqrt[3]{19} - \sqrt[4]{4097}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$3 \sqrt[3]{19} - \sqrt[4]{4097}$

Forme décimale :

$0.00471670 \dots$