Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\cos (5 x)}$

Étape 1

Appliquez des identités trigonométriques.

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Étape 1.1

Réécrivez $\frac{\sin (2 x)}{\cos (5 x)}$ comme un produit.

$lim_{x \to 0} \sin (2 x) \frac{1}{\cos (5 x)}$

Étape 1.2

Écrivez $\sin (2 x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{1} \cdot \frac{1}{\cos (5 x)}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Divisez $\sin (2 x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \sin (2 x) \frac{1}{\cos (5 x)}$

Étape 1.3.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (5 x)}$ à $\sec (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \sin (2 x) \sec (5 x)$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$lim_{x \to 0} \sin (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (5 x)$

Étape 3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\sin (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (5 x)$

Étape 4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \sec (5 x)$

Étape 5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (lim_{x \to 0} 5 x)$

Étape 6

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sin (2 lim_{x \to 0} x) \cdot \sec (5 lim_{x \to 0} x)$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\sin (2 \cdot 0) \cdot \sec (5 lim_{x \to 0} x)$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\sin (2 \cdot 0) \cdot \sec (5 \cdot 0)$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\sin (0) \cdot \sec (5 \cdot 0)$

Étape 8.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$0 \cdot \sec (5 \cdot 0)$

Étape 8.3

Multipliez $5$ par $0$ .

$0 \cdot \sec (0)$

Étape 8.4

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$0 \cdot 1$

Étape 8.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$0$