Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\sin (x)}$

Étape 1

Multipliez le numérateur et le dénominateur par $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cdot x}{\sin (x) \cdot x}$

Étape 2

Multipliez le numérateur et le dénominateur par $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x) \cdot x \cdot (2 x)}{2 x \cdot \sin (x) \cdot x}$

Étape 3

Séparez les fractions.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x} \cdot \frac{x}{\sin (x)} \cdot \frac{2 x}{x}$

Étape 4

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5

La limite de $\frac{\sin (2 x)}{2 x}$ lorsque $x$ approche de $0$ est $1$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 5.1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.1.2.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1.2.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.1.2.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 2 x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.3.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{2 lim_{x \to 0} x} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{2 \cdot 0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.1.3.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{2 x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 5.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [2 x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.3.7

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 \frac{d}{d x} [x]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2 \cdot 1} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.3.9

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.4

Évaluez la limite.

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Étape 5.4.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.4.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cos (2 x)}{2} \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.4.1.2

Divisez $\cos (2 x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.4.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\cos (lim_{x \to 0} 2 x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.4.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\cos (2 lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\cos (2 \cdot 0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.6.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\cos (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 5.6.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 6

La limite de $\frac{x}{\sin (x)}$ lorsque $x$ approche de $0$ est $1$ .

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Étape 6.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 6.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$1 \cdot \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 6.1.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$1 \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 6.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 6.1.3.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$1 \cdot \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 6.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$1 \cdot \frac{0}{\sin (0)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 6.1.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 6.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 6.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$1 \cdot \frac{0}{0} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 6.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 6.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 6.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 6.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (x)]} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 6.3.3

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)} \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 6.4

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x)}$ à $\sec (x)$ .

$1 \cdot lim_{x \to 0} \sec (x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 6.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$1 \cdot \sec (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 6.6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$1 \cdot \sec (0) \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 6.7

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 7

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun.

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} \frac{2 x}{x}$

Étape 7.2

Divisez $2$ par $1$ .

$1 \cdot 1 \cdot lim_{x \to 0} 2$

Étape 8

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$1 \cdot 1 \cdot 2$

Étape 9

Multipliez $1 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Étape 9.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$1 \cdot 2$

Étape 9.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$