Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2})}{x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (x^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sin ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (0^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x^{2})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (x^{2}) (2 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4

Réorganisez les facteurs de $\cos (x^{2}) (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 x \cos (x^{2})}{1}$

Étape 1.4

Divisez $2 x \cos (x^{2})$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 x \cos (x^{2})$

Étape 2

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 0} x \cos (x^{2})$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x^{2})$

Étape 2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x^{2})$

Étape 2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 lim_{x \to 0} x \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \cdot 0 \cdot \cos ({(lim_{x \to 0} x)}^{2})$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \cdot 0 \cdot \cos (0^{2})$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$0 \cdot \cos (0^{2})$

Étape 4.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 \cdot \cos (0)$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 \cdot 1$

Étape 4.4

Multipliez $0$ par $1$ .

$0$