Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 2} x - 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{4 - x}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{4 - x}}$

Étape 1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{4 - x}}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{4 - x}}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{4 - x}}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - \sqrt{4 - x}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} \sqrt{x} - lim_{x \to 2} \sqrt{4 - x}}$

Étape 1.1.3.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - lim_{x \to 2} \sqrt{4 - x}}$

Étape 1.1.3.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - \sqrt{lim_{x \to 2} 4 - x}}$

Étape 1.1.3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - \sqrt{lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} x}}$

Étape 1.1.3.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 2} x} - \sqrt{4 - lim_{x \to 2} x}}$

Étape 1.1.3.6

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{2} - \sqrt{4 - lim_{x \to 2} x}}$

Étape 1.1.3.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{2} - \sqrt{4 - 2}}$

Étape 1.1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.7.1

Soustrayez $2$ de $4$ .

$\frac{0}{\sqrt{2} - \sqrt{2}}$

Étape 1.1.3.7.2

Soustrayez $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.7.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 2} \frac{x - 2}{\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x - 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x - 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sqrt{x} - \sqrt{4 - x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Étape 1.3.7.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.7.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.7.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.7.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.7.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.7.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.7.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.7.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{4 - x}]$ .

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Étape 1.3.8.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{4 - x}$ comme ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 1.3.8.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 1.3.8.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 4 - x$ .

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Étape 1.3.8.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 - x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x])}$

Étape 1.3.8.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])}$

Étape 1.3.8.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 - x$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x])}$

Étape 1.3.8.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]))}$

Étape 1.3.8.5

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}$

Étape 1.3.8.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]))}$

Étape 1.3.8.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))}$

Étape 1.3.8.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Étape 1.3.8.9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Étape 1.3.8.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Étape 1.3.8.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.8.11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Étape 1.3.8.11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Étape 1.3.8.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}$

Étape 1.3.8.13

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))}$

Étape 1.3.8.14

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1)}$

Étape 1.3.8.15

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - (\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1)}$

Étape 1.3.8.16

Associez $\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}$

Étape 1.3.8.17

Déplacez $- 1$ à gauche de ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{- 1 \cdot {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Étape 1.3.8.18

Réécrivez $- 1 {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ comme $- {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{- {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}$

Étape 1.3.8.19

Placez ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - \frac{- 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.3.8.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} - - \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.3.8.21

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 1 \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.3.8.22

Multipliez $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.3.9

Simplifiez

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Étape 1.3.9.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.3.9.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.4

Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 1.4.1

Réécrivez $x^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 1.4.2

Réécrivez ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{4 - x}$ .

$lim_{x \to 2} \frac{1}{\frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Étape 2.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{1}{lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{x}} + lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Étape 2.4

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{x}} + lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \sqrt{x}} + lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 2} \sqrt{x}} + lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Étape 2.7

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} x}} + lim_{x \to 2} \frac{1}{2 \sqrt{4 - x}}}$

Étape 2.8

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} x}} + \frac{1}{2} lim_{x \to 2} \frac{1}{\sqrt{4 - x}}}$

Étape 2.9

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 2} 1}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 - x}}}$

Étape 2.10

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 2} \sqrt{4 - x}}}$

Étape 2.11

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} 4 - x}}}$

Étape 2.12

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} 4 - lim_{x \to 2} x}}}$

Étape 2.13

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 2} x}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - lim_{x \to 2} x}}}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - lim_{x \to 2} x}}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4 - 2}}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Soustrayez $2$ de $4$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Étape 4.2.2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Étape 4.2.2.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Étape 4.2.2.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Étape 4.2.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Étape 4.2.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Étape 4.2.2.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.2.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Étape 4.2.2.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Étape 4.2.2.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Étape 4.2.2.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.2.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Étape 4.2.2.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{1}} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Étape 4.2.2.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Étape 4.2.3

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 4.2.3.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Étape 4.2.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}}}$

Étape 4.2.4

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} (\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}$

Étape 4.2.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.5.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}}$

Étape 4.2.5.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}}$

Étape 4.2.5.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}}$

Étape 4.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}}$

Étape 4.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}}$

Étape 4.2.5.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.2.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}}$

Étape 4.2.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}}$

Étape 4.2.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 4.2.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.2.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}}$

Étape 4.2.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}}$

Étape 4.2.5.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}$

Étape 4.2.6

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Étape 4.2.6.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 4.2.6.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{4}}$

Étape 4.2.7

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4}}$

Étape 4.2.8

Réécrivez $\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{4}$ en forme factorisée.

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Étape 4.2.8.1

Additionnez $\sqrt{2}$ et $\sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{4}}$

Étape 4.2.8.2

Réduisez l’expression $\frac{2 \sqrt{2}}{4}$ en annulant les facteurs communs.

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Étape 4.2.8.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \sqrt{2}$ .

$\frac{1}{\frac{2 (\sqrt{2})}{4}}$

Étape 4.2.8.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 4.2.8.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\frac{2 \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Étape 4.2.8.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Étape 4.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$1 \frac{2}{\sqrt{2}}$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $1$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}}$

Étape 4.5

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Étape 4.6

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.6.1

Multipliez $\frac{2}{\sqrt{2}}$ par $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Étape 4.6.2

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Étape 4.6.3

Élevez $\sqrt{2}$ à la puissance $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Étape 4.6.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Étape 4.6.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Étape 4.6.6

Réécrivez ${\sqrt{2}}^{2}$ comme $2$ .

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Étape 4.6.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2}$ comme $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 4.6.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 4.6.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.6.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Étape 4.6.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Étape 4.6.6.5

Évaluez l’exposant.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.7

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 4.7.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Étape 4.7.2

Divisez $\sqrt{2}$ par $1$ .

$\sqrt{2}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\sqrt{2}$

Forme décimale :

$1.41421356 \dots$