Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x^{2})}{x^{2}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \sin (5 x^{2})}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\sin (lim_{x \to 0} 5 x^{2})}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sin (5 lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{\sin (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\sin (5 \cdot 0^{2})}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{\sin (5 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.3.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.2.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0^{2}}$

Étape 1.1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (5 x^{2})}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (5 x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x^{2}$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x^{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x^{2}) \frac{d}{d x} [5 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x^{2}) (5 \frac{d}{d x} [x^{2}])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x^{2}) (5 (2 x))}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.5

Multipliez $2$ par $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\cos (5 x^{2}) (10 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.6

Réorganisez les facteurs de $\cos (5 x^{2}) (10 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{10 x \cos (5 x^{2})}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{10 x \cos (5 x^{2})}{2 x}$

Étape 1.4

Réduisez.

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun à $10$ et $2$ .

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Étape 1.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10 x \cos (5 x^{2})$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (5 x \cos (5 x^{2}))}{2 x}$

Étape 1.4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 (5 x \cos (5 x^{2}))}{2 (x)}$

Étape 1.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{2 (5 x \cos (5 x^{2}))}{2 x}$

Étape 1.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{5 x \cos (5 x^{2})}{x}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{5 x \cos (5 x^{2})}{x}$

Étape 1.4.2.2

Divisez $5 \cos (5 x^{2})$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} 5 \cos (5 x^{2})$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$5 lim_{x \to 0} \cos (5 x^{2})$

Étape 2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$5 \cos (lim_{x \to 0} 5 x^{2})$

Étape 2.3

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$5 \cos (5 lim_{x \to 0} x^{2})$

Étape 2.4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$5 \cos (5 {(lim_{x \to 0} x)}^{2})$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$5 \cos (5 \cdot 0^{2})$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$5 \cos (5 \cdot 0)$

Étape 4.2

Multipliez $5$ par $0$ .

$5 \cos (0)$

Étape 4.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$5 \cdot 1$

Étape 4.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$5$