Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} {\tan (2 x)}^{x}$

Étape 1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la limite.

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Étape 1.1

Réécrivez ${\tan (2 x)}^{x}$ comme $e^{\ln ({\tan (2 x)}^{x})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({\tan (2 x)}^{x})}$

Étape 1.2

Développez $\ln ({\tan (2 x)}^{x})$ en déplaçant $x$ hors du logarithme.

$lim_{x \to 0} e^{x \ln (\tan (2 x))}$

Étape 2

Définissez la limite comme une limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} e^{x \ln (\tan (2 x))}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant la valeur de la variable.

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $e^{x \ln (\tan (2 x))}$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{0 \ln (\tan (2 \cdot 0))}$

Étape 3.2

Multipliez $2$ par $0$ .

$e^{0 \ln (\tan (0))}$

Étape 3.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$e^{0 \ln (0)}$

Étape 3.4

Comme $e^{0 \ln (0)}$ est indéfini, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$

Étape 4

Définissez la limite comme une limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} e^{x \ln (\tan (2 x))}$

Étape 5

Évaluez la limite côté droit.

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Étape 5.1

Placez la limite dans l’exposant.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} x \ln (\tan (2 x))}$

Étape 5.2

Réécrivez $x \ln (\tan (2 x))$ comme $\frac{\ln (\tan (2 x))}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\tan (2 x))}{\frac{1}{x}}}$

Étape 5.3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{\frac{lim_{x \to 0^{+}} \ln (\tan (2 x))}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.3.1.2

Lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit, $\ln (\tan (2 x))$ diminue sans borne.

$e^{\frac{- \infty}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{x}}}$

Étape 5.3.1.3

Comme le numérateur est une constante et le dénominateur approche de $0$ lorsque $x$ approche de $0$ par la droite, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de l’infini.

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Étape 5.3.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$e^{\frac{- \infty}{\infty}}$

Étape 5.3.2

Comme $\frac{- \infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\ln (\tan (2 x))}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (2 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Étape 5.3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\tan (2 x))]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = \tan (2 x)$ .

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Étape 5.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $\tan (2 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3.2.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $\tan (2 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\tan (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3.3

Réécrivez $\tan (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3.4

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3.5

Écrivez $1$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{1}{1} \cdot \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3.6

Simplifiez

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Étape 5.3.3.6.1

Réécrivez l’expression.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1 \frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3.6.2

Multipliez $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [\tan (2 x)]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 5.3.3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d u_{2}} [\tan (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3.7.2

La dérivée de $\tan (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $\sec^{2} (u_{2})$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sec^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)} \sec^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3.8

Associez $\sec^{2} (2 x)$ et $\frac{\cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3.9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3.10

Associez $2$ et $\frac{\sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3.11

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3.12

Multipliez $\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}$ par $1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \sec^{2} (2 x) \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3.13

Simplifiez

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Étape 5.3.3.13.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.3.3.13.1.1

Réécrivez $\sec (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 {(\frac{1}{\cos (2 x)})}^{2} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3.13.1.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{1}{\cos (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \frac{1^{2}}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3.13.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2 \frac{1}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3.13.1.4

Associez $2$ et $\frac{1}{\cos^{2} (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos^{2} (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3.13.1.5

Annulez le facteur commun de $\cos (2 x)$ .

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Étape 5.3.3.13.1.5.1

Factorisez $\cos (2 x)$ à partir de $\cos^{2} (2 x)$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3.13.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos (2 x) \cos (2 x)} \cos (2 x)}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3.13.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{\frac{2}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3.13.2

Associez des termes.

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Étape 5.3.3.13.2.1

Réécrivez $\frac{\frac{2}{\cos (2 x)}}{\sin (2 x)}$ comme un produit.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3.13.2.2

Multipliez $\frac{2}{\cos (2 x)}$ par $\frac{1}{\sin (2 x)}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Étape 5.3.3.14

Réécrivez $\frac{1}{x}$ comme $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Étape 5.3.3.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{- x^{- 2}}}$

Étape 5.3.3.16

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Étape 5.3.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$e^{lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)} \cdot - 1 x^{2}}$

Étape 5.3.5

Associez $\frac{2}{\cos (2 x) \sin (2 x)}$ et $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to 0^{+}} - \frac{2 x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Étape 5.4

Évaluez la limite.

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Étape 5.4.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{- lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Étape 5.4.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Étape 5.5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Étape 5.5.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.5.1.2.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$e^{- 2 \frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Étape 5.5.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- 2 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Étape 5.5.1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \sin (2 x)}}$

Étape 5.5.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 5.5.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}}$

Étape 5.5.1.3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0^{+}} 2 x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}}$

Étape 5.5.1.3.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}}$

Étape 5.5.1.3.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}}$

Étape 5.5.1.3.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 lim_{x \to 0^{+}} x) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Étape 5.5.1.3.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.5.1.3.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Étape 5.5.1.3.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (2 \cdot 0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}}$

Étape 5.5.1.3.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.5.1.3.7.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos (0) \cdot \sin (2 \cdot 0)}}$

Étape 5.5.1.3.7.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1 \cdot \sin (2 \cdot 0)}}$

Étape 5.5.1.3.7.3

Multipliez $\sin (2 \cdot 0)$ par $1$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}}$

Étape 5.5.1.3.7.4

Multipliez $2$ par $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\sin (0)}}$

Étape 5.5.1.3.7.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

Étape 5.5.1.3.7.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

Étape 5.5.1.3.8

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

Étape 5.5.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$e^{- 2 (\frac{0}{0})}$

Étape 5.5.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\cos (2 x) \sin (2 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}$

Étape 5.5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}}$

Étape 5.5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (2 x) \sin (2 x)]}}$

Étape 5.5.3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \cos (2 x)$ et $g (x) = \sin (2 x)$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Étape 5.5.3.4

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 5.5.3.4.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $2 x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Étape 5.5.3.4.2

La dérivée de $\sin (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\cos (u_{1})$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Étape 5.5.3.4.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Étape 5.5.3.5

Élevez $\cos (2 x)$ à la puissance $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{1} (2 x) \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Étape 5.5.3.6

Élevez $\cos (2 x)$ à la puissance $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{1} (2 x) \cos^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Étape 5.5.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{{\cos (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Étape 5.5.3.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Étape 5.5.3.9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Étape 5.5.3.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 \cdot 1 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Étape 5.5.3.11

Multipliez $2$ par $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\cos^{2} (2 x) \cdot 2 + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Étape 5.5.3.12

Déplacez $2$ à gauche de $\cos^{2} (2 x)$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cdot \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]}}$

Étape 5.5.3.13

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 5.5.3.13.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $2 x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Étape 5.5.3.13.2

La dérivée de $\cos (u_{2})$ par rapport à $u_{2}$ est $- \sin (u_{2})$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Étape 5.5.3.13.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) \cdot - 1 \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Étape 5.5.3.14

Élevez $\sin (2 x)$ à la puissance $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{1} (2 x) \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Étape 5.5.3.15

Élevez $\sin (2 x)$ à la puissance $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{1} (2 x) \sin^{1} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Étape 5.5.3.16

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - {\sin (2 x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Étape 5.5.3.17

Additionnez $1$ et $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}}$

Étape 5.5.3.18

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x) \cdot 2 \frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 5.5.3.19

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \frac{d}{d x} [x]}}$

Étape 5.5.3.20

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x) \cdot 1}}$

Étape 5.5.3.21

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)}}$

Étape 5.5.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)$ .

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Étape 5.5.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 \cos^{2} (2 x) - 2 \sin^{2} (2 x)}}$

Étape 5.5.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 \cos^{2} (2 x)$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (\cos^{2} (2 x)) - 2 \sin^{2} (2 x)}}$

Étape 5.5.4.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \sin^{2} (2 x)$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 \cdot - 1 \sin^{2} (2 x)}}$

Étape 5.5.4.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (\cos^{2} (2 x)) + 2 (- \sin^{2} (2 x))$ .

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 (x)}{2 (\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x))}}$

Étape 5.5.4.2.4

Annulez le facteur commun.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x))}}$

Étape 5.5.4.2.5

Réécrivez l’expression.

$e^{- 2 lim_{x \to 0^{+}} \frac{x}{\cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x)}}$

Étape 5.6

Évaluez la limite.

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Étape 5.6.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (2 x) - \sin^{2} (2 x)}}$

Étape 5.6.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \cos^{2} (2 x) - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

Étape 5.6.3

Déplacez l’exposant $2$ de $\cos^{2} (2 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{{(lim_{x \to 0^{+}} \cos (2 x))}^{2} - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

Étape 5.6.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (lim_{x \to 0^{+}} 2 x) - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

Étape 5.6.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - lim_{x \to 0^{+}} \sin^{2} (2 x)}}$

Étape 5.6.6

Déplacez l’exposant $2$ de $\sin^{2} (2 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - {(lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x))}^{2}}}$

Étape 5.6.7

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - \sin^{2} (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}}$

Étape 5.6.8

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$e^{- 2 \frac{lim_{x \to 0^{+}} x}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - \sin^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Étape 5.7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x) - \sin^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Étape 5.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (2 \cdot 0) - \sin^{2} (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}}$

Étape 5.7.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (2 \cdot 0) - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

Étape 5.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.8.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.8.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{\cos^{2} (0) - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

Étape 5.8.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1^{2} - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

Étape 5.8.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$e^{- 2 \frac{0}{1 - \sin^{2} (2 \cdot 0)}}$

Étape 5.8.1.4

Multipliez $2$ par $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1 - \sin^{2} (0)}}$

Étape 5.8.1.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1 - 0^{2}}}$

Étape 5.8.1.6

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1 - 0}}$

Étape 5.8.1.7

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$e^{- 2 \frac{0}{1 + 0}}$

Étape 5.8.1.8

Additionnez $1$ et $0$ .

$e^{- 2 (\frac{0}{1})}$

Étape 5.8.2

Divisez $0$ par $1$ .

$e^{- 2 \cdot 0}$

Étape 5.8.3

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$e^{0}$

Étape 5.9

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$1$

Étape 6

Si l’une des limites d’un côté n’existe pas, la limite n’existe pas.

$N’existe pas$