Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \sec (x)}{x}$

Étape 1

Appliquez des identités trigonométriques.

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Étape 1.1

Réécrivez $\sec (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (x) \frac{1}{\cos (x)}}{x}$

Étape 1.2

Associez $\sin (x)$ et $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{x}$

Étape 2

Convertissez de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ à $\tan (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.2.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

Étape 3.4

Divisez $\sec^{2} (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

${(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

Étape 4.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

Étape 5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\sec^{2} (0)$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$1^{2}$

Étape 6.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$1$