Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{(x + \sin (x))}{x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0 + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.4.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.4.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{(x + \sin (x))}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (x)}{1}$

Étape 1.4

Divisez $1 + \cos (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} 1 + \cos (x)$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

Étape 2.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$1 + lim_{x \to 0} \cos (x)$

Étape 2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$1 + \cos (lim_{x \to 0} x)$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$1 + \cos (0)$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$1 + 1$

Étape 4.2

Additionnez $1$ et $1$ .

$2$