Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 3^{x}}{3^{x} - 1}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot 3^{x}}{lim_{x \to 0} 3^{x} - 1}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} 3^{x}}{lim_{x \to 0} 3^{x} - 1}$

Étape 1.1.2.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{lim_{x \to 0} x \cdot 3^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 3^{x} - 1}$

Étape 1.1.2.3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0 \cdot 3^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 3^{x} - 1}$

Étape 1.1.2.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0 \cdot 3^{0}}{lim_{x \to 0} 3^{x} - 1}$

Étape 1.1.2.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.4.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{0 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 3^{x} - 1}$

Étape 1.1.2.4.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3^{x} - 1}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 3^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 1.1.3.1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{0}{3^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{3^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{3^{0} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 3^{x}}{3^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot 3^{x}]}{\frac{d}{d x} [3^{x} - 1]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x \cdot 3^{x}]}{\frac{d}{d x} [3^{x} - 1]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 3^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \frac{d}{d x} [3^{x}] + 3^{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3^{x} - 1]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (3^{x} \ln (3)) + 3^{x} \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [3^{x} - 1]}$

Étape 1.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (3^{x} \ln (3)) + 3^{x} \cdot 1}{\frac{d}{d x} [3^{x} - 1]}$

Étape 1.3.5

Multipliez $3^{x}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x (3^{x} \ln (3)) + 3^{x}}{\frac{d}{d x} [3^{x} - 1]}$

Étape 1.3.6

Simplifiez

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Étape 1.3.6.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{3^{x} x \ln (3) + 3^{x}}{\frac{d}{d x} [3^{x} - 1]}$

Étape 1.3.6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $3^{x} x \ln (3) + 3^{x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 3^{x} \ln (3) + 3^{x}}{\frac{d}{d x} [3^{x} - 1]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3^{x} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 3^{x} \ln (3) + 3^{x}}{\frac{d}{d x} [3^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $3$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 3^{x} \ln (3) + 3^{x}}{3^{x} \ln (3) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.9

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 3^{x} \ln (3) + 3^{x}}{3^{x} \ln (3) + 0}$

Étape 1.3.10

Additionnez $3^{x} \ln (3)$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 3^{x} \ln (3) + 3^{x}}{3^{x} \ln (3)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{\ln (3)}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{\ln (3)} lim_{x \to 0} \frac{x \cdot 3^{x} \ln (3) + 3^{x}}{3^{x}}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot 3^{x} \ln (3) + 3^{x}}{lim_{x \to 0} 3^{x}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{lim_{x \to 0} x \cdot 3^{x} \ln (3) + lim_{x \to 0} 3^{x}}{lim_{x \to 0} 3^{x}}$

Étape 2.4

Placez le terme $\ln (3)$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) lim_{x \to 0} x \cdot 3^{x} + lim_{x \to 0} 3^{x}}{lim_{x \to 0} 3^{x}}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} 3^{x} + lim_{x \to 0} 3^{x}}{lim_{x \to 0} 3^{x}}$

Étape 2.6

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) lim_{x \to 0} x \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} + lim_{x \to 0} 3^{x}}{lim_{x \to 0} 3^{x}}$

Étape 2.7

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) lim_{x \to 0} x \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} + 3^{lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} 3^{x}}$

Étape 2.8

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) lim_{x \to 0} x \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} + 3^{lim_{x \to 0} x}}{3^{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) \cdot 0 \cdot 3^{lim_{x \to 0} x} + 3^{lim_{x \to 0} x}}{3^{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) \cdot 0 \cdot 3^{0} + 3^{lim_{x \to 0} x}}{3^{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) \cdot 0 \cdot 3^{0} + 3^{0}}{3^{lim_{x \to 0} x}}$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{\ln (3) \cdot 0 \cdot 3^{0} + 3^{0}}{3^{0}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $\ln (3)$ par $0$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{0 \cdot 3^{0} + 3^{0}}{3^{0}}$

Étape 4.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{0 \cdot 1 + 3^{0}}{3^{0}}$

Étape 4.1.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{0 + 3^{0}}{3^{0}}$

Étape 4.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{0 + 1}{3^{0}}$

Étape 4.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{1}{3^{0}}$

Étape 4.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{1}{1}$

Étape 4.3

Annulez le facteur commun de $1$ .

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Étape 4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot \frac{1}{1}$

Étape 4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\ln (3)} \cdot 1$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{1}{\ln (3)}$ par $1$ .

$\frac{1}{\ln (3)}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{\ln (3)}$

Forme décimale :

$0.91023922 \dots$