Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \sqrt{| x |} e^{\sin (\frac{π}{x})}$

Étape 1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$lim_{x \to 0} \sqrt{| x |} \cdot lim_{x \to 0} e^{\sin (\frac{π}{x})}$

Étape 1.2

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt{lim_{x \to 0} | x |} \cdot lim_{x \to 0} e^{\sin (\frac{π}{x})}$

Étape 1.3

Placez la limite à l’intérieur des signes de valeur absolue.

$\sqrt{| lim_{x \to 0} x |} \cdot lim_{x \to 0} e^{\sin (\frac{π}{x})}$

Étape 1.4

Placez la limite dans l’exposant.

$\sqrt{| lim_{x \to 0} x |} \cdot e^{lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})}$

Étape 2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\sqrt{| 0 |} \cdot e^{lim_{x \to 0} \sin (\frac{π}{x})}$

Étape 3

Regardez la limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} \sin (\frac{π}{x})$

Étape 4

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\sin (\frac{π}{x})$ lorsque $x$ approche de $0$ par la gauche.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ - 0.1 & 0 \\ - 0.01 & 0 \\ - 0.001 & - 0.85104601 \\ - 0.0001 & 0.17871591 \\ - 0.00001 & 0.97661742 \\ - 0.000001 & 0.99374486 \\ - 0.0000001 & - 0.96737158 \\ - 0.00000001 & 0.43267965 \\ 0 & 0.00000098 \\ 0 & 0.00001749 \end{array}$

Étape 5

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $0$ . Ainsi, la limite de $\sin (\frac{π}{x})$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté gauche est $0$ .

$0$

Étape 6

Regardez la limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} \sin (\frac{π}{x})$

Étape 7

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\sin (\frac{π}{x})$ lorsque $x$ approche de $0$ par la droite.

$\begin{array}{c} x & \sin (\frac{π}{x}) \\ 0.1 & 0 \\ 0.01 & 0 \\ 0.001 & - 0.7449523 \\ 0.0001 & 0.99417798 \\ 0.00001 & 0.48320985 \\ 0.000001 & 0.17483031 \\ 0.0000001 & - 0.03148204 \\ 0.00000001 & - 0.74176093 \\ 0 & - 0.00000098 \\ 0 & - 0.00001749 \end{array}$

Étape 8

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $0$ . Ainsi, la limite de $\sin (\frac{π}{x})$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit est $0$ .

$\sqrt{| 0 |} \cdot e^{0}$

Étape 9

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.1

La valeur absolue est la distance entre un nombre et zéro. La distance entre $0$ et $0$ est $0$ .

$\sqrt{0} \cdot e^{0}$

Étape 9.2

Réécrivez $0$ comme $0^{2}$ .

$\sqrt{0^{2}} \cdot e^{0}$

Étape 9.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$0 \cdot e^{0}$

Étape 9.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 \cdot 1$

Étape 9.5

Multipliez $0$ par $1$ .

$0$