Calcul infinitésimal Exemples

$f (x) = 8 \sqrt{x}$ , $x = 4$

Étape 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 4$ .

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Étape 1.1

Remplacez $x$ dans par $4$ .

$y = 8 \sqrt{4}$

Étape 1.2

Simplifiez $8 \sqrt{4}$ .

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Étape 1.2.1

Supprimez les parenthèses.

$y = 8 \sqrt{4}$

Étape 1.2.2

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = 8 \sqrt{2^{2}}$

Étape 1.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = 8 \cdot 2$

Étape 1.2.4

Multipliez $8$ par $2$ .

$y = 16$

Étape 2

Déterminez la dérivée première et évaluez sur $x = 4$ et $y = 16$ pour déterminer la pente de la droite tangente.

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Étape 2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [8 x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 2.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 2.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 2.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 2.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$8 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$8 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 2.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$8 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 2.10

Associez $8$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{8 x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 2.11

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{8}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.12

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 \cdot 4}{2 (x^{\frac{1}{2}})}$

Étape 2.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot 4}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.14

Évaluez la dérivée sur $x = 4$ .

$\frac{4}{{(4)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.15

Simplifiez

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Étape 2.15.1

Placez ${(4)}^{\frac{1}{2}}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$4 \cdot 4^{- \frac{1}{2}}$

Étape 2.15.2

Multipliez $4$ par $4^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.15.2.1

Multipliez $4$ par $4^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.15.2.1.1

Élevez $4$ à la puissance $1$ .

$4^{1} \cdot 4^{- \frac{1}{2}}$

Étape 2.15.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4^{1 - \frac{1}{2}}$

Étape 2.15.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$4^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}$

Étape 2.15.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$4^{\frac{2 - 1}{2}}$

Étape 2.15.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$4^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.15.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.15.3.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

${(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2.15.3.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 2.15.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.15.4.1

Annulez le facteur commun.

$2^{2 (\frac{1}{2})}$

Étape 2.15.4.2

Réécrivez l’expression.

$2^{1}$

Étape 2.15.5

Évaluez l’exposant.

$2$

Étape 3

Insérez les valeurs de pente et de point dans la formule point-pente et résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Utilisez la pente $2$ et un point donné, tel que $(4, 16)$ , pour remplacer $x_{1}$ et $y_{1}$ dans la forme point-pente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , qui est dérivée de l’équation de la pente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (16) = 2 \cdot (x - (4))$

Étape 3.2

Simplifiez l’équation et conservez-la en forme point-pente.

$y - 16 = 2 \cdot (x - 4)$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Simplifiez $2 \cdot (x - 4)$ .

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Étape 3.3.1.1

Réécrivez.

$y - 16 = 0 + 0 + 2 \cdot (x - 4)$

Étape 3.3.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$y - 16 = 2 \cdot (x - 4)$

Étape 3.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y - 16 = 2 x + 2 \cdot - 4$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $2$ par $- 4$ .

$y - 16 = 2 x - 8$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Ajoutez $16$ aux deux côtés de l’équation.

$y = 2 x - 8 + 16$

Étape 3.3.2.2

Additionnez $- 8$ et $16$ .

$y = 2 x + 8$

Étape 4