Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{4 x}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{4}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \tan (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.2.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\tan (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{\tan (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{4} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \frac{\sec^{2} (x)}{1}$

Étape 2.4

Divisez $\sec^{2} (x)$ par $1$ .

$\frac{1}{4} lim_{x \to 0} \sec^{2} (x)$

Étape 3

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{4} {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2}$

Étape 3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\frac{1}{4} \sec^{2} (lim_{x \to 0} x)$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{4} \sec^{2} (0)$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot 1^{2}$

Étape 5.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1}{4} \cdot 1$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{1}{4}$ par $1$ .

$\frac{1}{4}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{4}$

Forme décimale :

$0.25$