Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{6 x}{\tan (3 x)}$

Étape 1

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (3 x)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$6 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$6 \frac{0}{lim_{x \to 0} \tan (3 x)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$6 \frac{0}{\tan (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Étape 2.1.3.1.2

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$6 \frac{0}{\tan (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$6 \frac{0}{\tan (3 \cdot 0)}$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.3.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$6 \frac{0}{\tan (0)}$

Étape 2.1.3.3.2

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$6 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$6 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$6 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$6 (\frac{0}{0})$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\tan (3 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$6 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\tan (3 x)]}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = 3 x$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 2.3.3.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]}$

Étape 2.3.4

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \cdot 3 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \cdot 3 \cdot 1}$

Étape 2.3.6

Multipliez $3$ par $1$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x) \cdot 3}$

Étape 2.3.7

Déplacez $3$ à gauche de $\sec^{2} (3 x)$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{1}{3 \sec^{2} (3 x)}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$6 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\sec^{2} (3 x)}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$6 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

Étape 3.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$6 (\frac{1}{3}) \frac{1}{lim_{x \to 0} \sec^{2} (3 x)}$

Étape 3.4

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (3 x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$6 (\frac{1}{3}) \frac{1}{{(lim_{x \to 0} \sec (3 x))}^{2}}$

Étape 3.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$6 (\frac{1}{3}) \frac{1}{\sec^{2} (lim_{x \to 0} 3 x)}$

Étape 3.6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$6 (\frac{1}{3}) \frac{1}{\sec^{2} (3 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$6 (\frac{1}{3}) \frac{1}{\sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (2) \frac{1}{3} \frac{1}{\sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Étape 5.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 \cdot 2 \frac{1}{3} \frac{1}{\sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Étape 5.1.3

Réécrivez l’expression.

$2 \frac{1}{\sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Étape 5.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$2 \frac{1^{2}}{\sec^{2} (3 \cdot 0)}$

Étape 5.3

Réécrivez $\frac{1^{2}}{\sec^{2} (3 \cdot 0)}$ comme ${(\frac{1}{\sec (3 \cdot 0)})}^{2}$ .

$2 {(\frac{1}{\sec (3 \cdot 0)})}^{2}$

Étape 5.4

Réécrivez $\sec (3 \cdot 0)$ en termes de sinus et de cosinus.

$2 {(\frac{1}{\frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}})}^{2}$

Étape 5.5

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{\cos (3 \cdot 0)}$ .

$2 {(1 \cos (3 \cdot 0))}^{2}$

Étape 5.6

Multipliez $\cos (3 \cdot 0)$ par $1$ .

$2 \cos^{2} (3 \cdot 0)$

Étape 5.7

Multipliez $3$ par $0$ .

$2 \cos^{2} (0)$

Étape 5.8

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$2 \cdot 1^{2}$

Étape 5.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 \cdot 1$

Étape 5.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$