Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x) - \sin (x)}{x \sin (x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + x) - \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \ln (1 + x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2.2

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\ln (lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{\ln (1 + lim_{x \to 0} x) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\ln (1 + 0) - \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\ln (1 + 0) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.7.1.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\ln (1) - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2.7.1.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0 - \sin (0)}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2.7.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0 - 0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2.7.1.4

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.2.7.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sin (x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sin (0)}$

Étape 1.1.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.4.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Étape 1.1.3.4.2

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.5

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + x) - \sin (x)}{x \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x) - \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\ln (1 + x) - \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (1 + x)]$ .

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Étape 1.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 1 + x$ .

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Étape 1.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.3.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.3.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.3.6

Multipliez $\frac{1}{1 + x}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} + \frac{d}{d x} [- \sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (x)]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \frac{d}{d x} [\sin (x)]}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.4.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{\frac{d}{d x} [x \sin (x)]}$

Étape 1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.6

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1}$

Étape 1.3.8

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} \frac{1}{1 + x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 2.1.2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 1 + x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 2.1.2.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 0} 1 + x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 2.1.2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 2.1.2.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{\frac{1}{1 + lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} \cos (x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 2.1.2.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\frac{1}{1 + lim_{x \to 0} x} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 2.1.2.7

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.2.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\frac{1}{1 + 0} - \cos (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 2.1.2.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{\frac{1}{1 + 0} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 2.1.2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.8.1.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\frac{1}{1} - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 2.1.2.8.1.2

Divisez $1$ par $1$ .

$\frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 2.1.2.8.1.3

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 2.1.2.8.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 2.1.2.8.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + \sin (x)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 2.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 2.1.3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 2.1.3.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 2.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (lim_{x \to 0} x) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 2.1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 2.1.3.5.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \cos (0) + \sin (0)}$

Étape 2.1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.6.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1 + \sin (0)}$

Étape 2.1.3.6.1.2

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{0}{0 + \sin (0)}$

Étape 2.1.3.6.1.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 2.1.3.6.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.6.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{1 + x} - \cos (x)}{x \cos (x) + \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x} - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{1 + x} - \cos (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 2.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{1}{1 + x}]$ .

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $\frac{1}{1 + x}$ comme ${(1 + x)}^{- 1}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = 1 + x$ .

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Étape 2.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 2.3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- u^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 2.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [1 + x] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 2.3.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 2.3.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 2.3.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 2.3.3.6

Additionnez $0$ et $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 2.3.3.7

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Étape 2.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 2.3.4.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 2.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 2.3.4.4

Multipliez $\sin (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- {(1 + x)}^{- 2} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 2.3.5

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x) + \sin (x)]}$

Étape 2.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x \cos (x) + \sin (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 2.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

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Étape 2.3.7.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 2.3.7.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 2.3.7.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 2.3.7.4

Multipliez $\cos (x)$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x (- \sin (x)) + \cos (x) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 2.3.8

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x (- \sin (x)) + \cos (x) + \cos (x)}$

Étape 2.3.9

Simplifiez

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Étape 2.3.9.1

Additionnez $\cos (x)$ et $\cos (x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{x (- \sin (x)) + 2 \cos (x)}$

Étape 2.3.9.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{- x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} - \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{- lim_{x \to 0} \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{- \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{- \frac{1}{lim_{x \to 0} {(1 + x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 3.5

Déplacez l’exposant $2$ de ${(1 + x)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{- \frac{1}{{(lim_{x \to 0} 1 + x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 3.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{- \frac{1}{{(lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 3.7

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + lim_{x \to 0} \sin (x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 3.8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} - x \sin (x) + 2 \cos (x)}$

Étape 3.9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Étape 3.10

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sin (x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Étape 3.11

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + lim_{x \to 0} 2 \cos (x)}$

Étape 3.12

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 3.13

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{- \frac{1}{{(1 + lim_{x \to 0} x)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (lim_{x \to 0} x)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{- lim_{x \to 0} x \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{0 \cdot \sin (lim_{x \to 0} x) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4.5

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by ${(1 + 0)}^{2}$ .

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Étape 5.1.1

Multipliez $\frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$ par $\frac{{(1 + 0)}^{2}}{{(1 + 0)}^{2}}$ .

$\frac{{(1 + 0)}^{2}}{{(1 + 0)}^{2}} \cdot \frac{- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0)}{0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0)}$

Étape 5.1.2

Associez.

$\frac{{(1 + 0)}^{2} (- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}} + \sin (0))}{{(1 + 0)}^{2} (0 \cdot \sin (0) + 2 \cos (0))}$

Étape 5.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{{(1 + 0)}^{2} (- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}}) + {(1 + 0)}^{2} \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} (0 \cdot \sin (0)) + {(1 + 0)}^{2} (2 \cos (0))}$

Étape 5.3

Annulez le facteur commun de ${(1 + 0)}^{2}$ .

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Étape 5.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{{(1 + 0)}^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{{(1 + 0)}^{2} \frac{- 1}{{(1 + 0)}^{2}} + {(1 + 0)}^{2} \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} (0 \cdot \sin (0)) + {(1 + 0)}^{2} (2 \cos (0))}$

Étape 5.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(1 + 0)}^{2} \frac{- 1}{{(1 + 0)}^{2}} + {(1 + 0)}^{2} \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} (0 \cdot \sin (0)) + {(1 + 0)}^{2} (2 \cos (0))}$

Étape 5.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1 + {(1 + 0)}^{2} \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} (0 \cdot \sin (0)) + {(1 + 0)}^{2} (2 \cos (0))}$

Étape 5.4

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- 1 + 1^{2} \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Étape 5.4.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{- 1 + 1 \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Étape 5.4.3

Multipliez $\sin (0)$ par $1$ .

$\frac{- 1 + \sin (0)}{{(1 + 0)}^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Étape 5.4.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{- 1 + 0}{{(1 + 0)}^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Étape 5.4.5

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$\frac{- 1}{{(1 + 0)}^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Étape 5.5

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- 1}{1^{2} \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Étape 5.5.2

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{- 1}{1 \cdot 0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Étape 5.5.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{- 1}{0 \cdot \sin (0) + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Étape 5.5.4

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{- 1}{0 \cdot 0 + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Étape 5.5.5

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{- 1}{0 + {(1 + 0)}^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Étape 5.5.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- 1}{0 + 1^{2} \cdot 2 \cos (0)}$

Étape 5.5.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{- 1}{0 + 1 \cdot 2 \cos (0)}$

Étape 5.5.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{- 1}{0 + 2 \cos (0)}$

Étape 5.5.9

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{- 1}{0 + 2 \cdot 1}$

Étape 5.5.10

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{- 1}{0 + 2}$

Étape 5.5.11

Additionnez $0$ et $2$ .

$\frac{- 1}{2}$

Étape 5.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$- 0.5$