Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (A x^{2})}{B x}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{B}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{B} lim_{x \to 0} \frac{\sin (A x^{2})}{x}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{B} \cdot \frac{lim_{x \to 0} \sin (A x^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{B} \cdot \frac{\sin (lim_{x \to 0} A x^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.2

Placez le terme $A$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{B} \cdot \frac{\sin (A lim_{x \to 0} x^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.3

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{B} \cdot \frac{\sin (A {(lim_{x \to 0} x)}^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{B} \cdot \frac{\sin (A \cdot 0^{2})}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{B} \cdot \frac{\sin (A \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3.2

Multipliez $A$ par $0$ .

$\frac{1}{B} \cdot \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{B} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{B} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{B} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (A x^{2})}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (A x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{B} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (A x^{2})]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = A x^{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $A x^{2}$ .

$\frac{1}{B} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [A x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\frac{1}{B} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [A x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $A x^{2}$ .

$\frac{1}{B} lim_{x \to 0} \frac{\cos (A x^{2}) \frac{d}{d x} [A x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3

Comme $A$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $A x^{2}$ par rapport à $x$ est $A \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{B} lim_{x \to 0} \frac{\cos (A x^{2}) A \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{B} lim_{x \to 0} \frac{\cos (A x^{2}) A \cdot 2 x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $A$ .

$\frac{1}{B} lim_{x \to 0} \frac{\cos (A x^{2}) \cdot 2 \cdot A x}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.6

Réorganisez les facteurs de $\cos (A x^{2}) (2 A x)$ .

$\frac{1}{B} lim_{x \to 0} \frac{2 A x \cos (A x^{2})}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{B} lim_{x \to 0} \frac{2 A x \cos (A x^{2})}{1}$

Étape 2.4

Divisez $2 A x \cos (A x^{2})$ par $1$ .

$\frac{1}{B} lim_{x \to 0} 2 A x \cos (A x^{2})$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $2 A$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{B} \cdot 2 A lim_{x \to 0} x \cos (A x^{2})$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{B} \cdot 2 A lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \cos (A x^{2})$

Étape 3.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{B} \cdot 2 A lim_{x \to 0} x \cdot \cos (lim_{x \to 0} A x^{2})$

Étape 3.4

Placez le terme $A$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{B} \cdot 2 A lim_{x \to 0} x \cdot \cos (A lim_{x \to 0} x^{2})$

Étape 3.5

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{B} \cdot 2 A lim_{x \to 0} x \cdot \cos (A {(lim_{x \to 0} x)}^{2})$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{B} \cdot 2 A \cdot 0 \cdot \cos (A {(lim_{x \to 0} x)}^{2})$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{B} \cdot 2 A \cdot 0 \cdot \cos (A \cdot 0^{2})$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Associez $\frac{1}{B}$ et $2$ .

$\frac{2}{B} A \cdot 0 \cdot \cos (A \cdot 0^{2})$

Étape 5.2

Associez $\frac{2}{B}$ et $A$ .

$\frac{2 A}{B} \cdot 0 \cdot \cos (A \cdot 0^{2})$

Étape 5.3

Multipliez $\frac{2 A}{B}$ par $0$ .

$0 \cdot \cos (A \cdot 0^{2})$

Étape 5.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 \cdot \cos (A \cdot 0)$

Étape 5.5

Multipliez $A$ par $0$ .

$0 \cdot \cos (0)$

Étape 5.6

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$0 \cdot 1$

Étape 5.7

Multipliez $0$ par $1$ .

$0$