Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{6 x^{2}}{\cos (x) - 1}$

Étape 1

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\cos (x) - 1}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$6 \frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$6 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$6 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Étape 2.1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$6 \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - 1}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$6 \frac{0}{lim_{x \to 0} \cos (x) - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 2.1.3.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$6 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 2.1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$6 \frac{0}{\cos (lim_{x \to 0} x) - 1 \cdot 1}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$6 \frac{0}{\cos (0) - 1 \cdot 1}$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.3.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$6 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 2.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$6 \frac{0}{1 - 1}$

Étape 2.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$6 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$6 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$6 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$6 (\frac{0}{0})$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\cos (x) - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$6 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (x) - 1]}$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (x) - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 2.3.4

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{- \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 2.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{- \sin (x) + 0}$

Étape 2.3.6

Additionnez $- \sin (x)$ et $0$ .

$6 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{- \sin (x)}$

Étape 3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{x}{- \sin (x)}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$6 \cdot 2 \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$6 \cdot 2 \frac{0}{lim_{x \to 0} - \sin (x)}$

Étape 4.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 4.1.3.1.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$6 \cdot 2 \frac{0}{- lim_{x \to 0} \sin (x)}$

Étape 4.1.3.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$6 \cdot 2 \frac{0}{- \sin (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$6 \cdot 2 \frac{0}{- \sin (0)}$

Étape 4.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.3.3.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$6 \cdot 2 \frac{0}{- 0}$

Étape 4.1.3.3.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$6 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$6 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$6 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Étape 4.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$6 \cdot 2 \frac{0}{0}$

Étape 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{- \sin (x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [- \sin (x)]}$

Étape 4.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{- \frac{d}{d x} [\sin (x)]}$

Étape 4.3.4

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{1}{- \cos (x)}$

Étape 4.4

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 4.4.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} \frac{- 1 (- 1)}{- \cos (x)}$

Étape 4.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$6 \cdot 2 lim_{x \to 0} - \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$6 \cdot 2 \cdot - 1 lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (x)}$

Étape 5.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$6 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$6 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (x)}$

Étape 5.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$6 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} x)}$

Étape 6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$6 \cdot 2 \cdot - 1 \frac{1}{\cos (0)}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Multipliez $6 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Étape 7.1.1

Multipliez $6$ par $2$ .

$12 \cdot - 1 \frac{1}{\cos (0)}$

Étape 7.1.2

Multipliez $12$ par $- 1$ .

$- 12 \frac{1}{\cos (0)}$

Étape 7.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (0)}$ à $\sec (0)$ .

$- 12 \sec (0)$

Étape 7.3

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$- 12 \cdot 1$

Étape 7.4

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$- 12$