Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (2 x) - 12 x}{\sin (5 x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 5 \sin (2 x) - 12 x}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 5 \sin (2 x) - lim_{x \to 0} 12 x}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Étape 1.1.2.2

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 lim_{x \to 0} \sin (2 x) - lim_{x \to 0} 12 x}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Étape 1.1.2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{5 \sin (lim_{x \to 0} 2 x) - lim_{x \to 0} 12 x}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Étape 1.1.2.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 \sin (2 lim_{x \to 0} x) - lim_{x \to 0} 12 x}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Étape 1.1.2.5

Placez le terme $12$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 \sin (2 lim_{x \to 0} x) - 12 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Étape 1.1.2.6

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{5 \sin (2 \cdot 0) - 12 lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Étape 1.1.2.6.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{5 \sin (2 \cdot 0) - 12 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Étape 1.1.2.7

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.7.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.7.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{5 \sin (0) - 12 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Étape 1.1.2.7.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{5 \cdot 0 - 12 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Étape 1.1.2.7.1.3

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{0 - 12 \cdot 0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Étape 1.1.2.7.1.4

Multipliez $- 12$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Étape 1.1.2.7.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (5 x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Étape 1.1.3.1.2

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sin (5 \cdot 0)}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Étape 1.1.3.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{5 \sin (2 x) - 12 x}{\sin (5 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \sin (2 x) - 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \sin (2 x) - 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 \sin (2 x) - 12 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 \sin (2 x)]$ .

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Étape 1.3.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Étape 1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Étape 1.3.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Étape 1.3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Étape 1.3.3.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Étape 1.3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Étape 1.3.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Étape 1.3.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Étape 1.3.3.7

Multipliez $2$ par $5$ .

$lim_{x \to 0} \frac{10 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 12$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 12 x$ par rapport à $x$ est $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{10 \cos (2 x) - 12 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{10 \cos (2 x) - 12 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 12$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{10 \cos (2 x) - 12}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Étape 1.3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 1.3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]}$

Étape 1.3.6.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]}$

Étape 1.3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]}$

Étape 1.3.7

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 1.3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{\cos (5 x) (5 \cdot 1)}$

Étape 1.3.9

Multipliez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{\cos (5 x) \cdot 5}$

Étape 1.3.10

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (5 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{5 \cos (5 x)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{5}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{- 12 + 10 \cos (2 x)}{\cos (5 x)}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} - 12 + 10 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- lim_{x \to 0} 12 + lim_{x \to 0} 10 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $12$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 1 \cdot 12 + lim_{x \to 0} 10 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Étape 2.5

Placez le terme $10$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Étape 2.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Étape 2.7

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} \cos (5 x)}$

Étape 2.8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos (lim_{x \to 0} 5 x)}$

Étape 2.9

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 \cos (2 \cdot 0)}{\cos (5 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 \cos (2 \cdot 0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 \cos (0)}{\cos (5 \cdot 0)}$

Étape 4.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10 \cdot 1}{\cos (5 \cdot 0)}$

Étape 4.1.3

Multipliez $10$ par $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 12 + 10}{\cos (5 \cdot 0)}$

Étape 4.1.4

Additionnez $- 12$ et $10$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 2}{\cos (5 \cdot 0)}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.2.1

Multipliez $5$ par $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 2}{\cos (0)}$

Étape 4.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{- 2}{1}$

Étape 4.3

Divisez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot - 2$

Étape 4.4

Associez $\frac{1}{5}$ et $- 2$ .

$\frac{- 2}{5}$

Étape 4.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{5}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{2}{5}$

Forme décimale :

$- 0.4$