Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{3 x^{2}}{1 - \cos (6 x)}$

Étape 1

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \cos (6 x)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$3 \frac{lim_{x \to 0} x^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (6 x)}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$3 \frac{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (6 x)}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (6 x)}$

Étape 2.1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - \cos (6 x)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{0}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (6 x)}$

Étape 2.1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 \frac{0}{1 - lim_{x \to 0} \cos (6 x)}$

Étape 2.1.3.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$3 \frac{0}{1 - \cos (lim_{x \to 0} 6 x)}$

Étape 2.1.3.1.4

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$3 \frac{0}{1 - \cos (6 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 \frac{0}{1 - \cos (6 \cdot 0)}$

Étape 2.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.3.1.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$3 \frac{0}{1 - \cos (0)}$

Étape 2.1.3.3.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$3 \frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 2.1.3.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$3 \frac{0}{1 - 1}$

Étape 2.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$3 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$3 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$3 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$3 (\frac{0}{0})$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{1 - \cos (6 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (6 x)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$3 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (6 x)]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1 - \cos (6 x)]}$

Étape 2.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (6 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]}$

Étape 2.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]}$

Étape 2.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (6 x)]$ .

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Étape 2.3.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (6 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{d}{d x} [\cos (6 x)]}$

Étape 2.3.5.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 6 x$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [6 x]}$

Étape 2.3.5.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - - 1 \sin (u) \frac{d}{d x} [6 x]}$

Étape 2.3.5.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - - 1 \sin (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]}$

Étape 2.3.5.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - - 1 \sin (6 x) \cdot 6 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.5.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - - 1 \sin (6 x) \cdot 6 \cdot 1}$

Étape 2.3.5.5

Multipliez $6$ par $1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - - 1 \sin (6 x) \cdot 6}$

Étape 2.3.5.6

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 - - 6 \sin (6 x)}$

Étape 2.3.5.7

Multipliez $- 6$ par $- 1$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{0 + 6 \sin (6 x)}$

Étape 2.3.6

Additionnez $0$ et $6 \sin (6 x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{6 \sin (6 x)}$

Étape 2.4

Annulez le facteur commun à $2$ et $6$ .

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Étape 2.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{6 \sin (6 x)}$

Étape 2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $6 \sin (6 x)$ .

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 (x)}{2 \cdot 3 \sin (6 x)}$

Étape 2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 lim_{x \to 0} \frac{2 x}{2 \cdot 3 \sin (6 x)}$

Étape 2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 lim_{x \to 0} \frac{x}{3 \sin (6 x)}$

Étape 3

Placez le terme $\frac{1}{3}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (6 x)}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$3 (\frac{1}{3}) \frac{lim_{x \to 0} x}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{lim_{x \to 0} \sin (6 x)}$

Étape 4.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 4.1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{\sin (lim_{x \to 0} 6 x)}$

Étape 4.1.3.1.2

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{\sin (6 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 4.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{\sin (6 \cdot 0)}$

Étape 4.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.3.3.1

Multipliez $6$ par $0$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{\sin (0)}$

Étape 4.1.3.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{0}$

Étape 4.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{0}$

Étape 4.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$3 (\frac{1}{3}) \frac{0}{0}$

Étape 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{x}{\sin (6 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sin (6 x)]}$

Étape 4.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 6 x$ .

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Étape 4.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x$ .

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [6 x]}$

Étape 4.3.3.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (u) \frac{d}{d x} [6 x]}$

Étape 4.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x$ .

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (6 x) \frac{d}{d x} [6 x]}$

Étape 4.3.4

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (6 x) \cdot 6 \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (6 x) \cdot 6 \cdot 1}$

Étape 4.3.6

Multipliez $6$ par $1$ .

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (6 x) \cdot 6}$

Étape 4.3.7

Déplacez $6$ à gauche de $\cos (6 x)$ .

$3 (\frac{1}{3}) lim_{x \to 0} \frac{1}{6 \cos (6 x)}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Placez le terme $\frac{1}{6}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{1}{\cos (6 x)}$

Étape 5.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6} \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \cos (6 x)}$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6} \frac{1}{lim_{x \to 0} \cos (6 x)}$

Étape 5.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$3 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6} \frac{1}{\cos (lim_{x \to 0} 6 x)}$

Étape 5.5

Placez le terme $6$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6} \frac{1}{\cos (6 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{1}{6} \frac{1}{\cos (6 \cdot 0)}$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.1.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$3 (\frac{1}{3}) \frac{1}{3 (2)} \frac{1}{\cos (6 \cdot 0)}$

Étape 7.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 (\frac{1}{3}) \frac{1}{3 \cdot 2} \frac{1}{\cos (6 \cdot 0)}$

Étape 7.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} \frac{1}{\cos (6 \cdot 0)}$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{1}{3}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2} \cdot \frac{1}{\cos (6 \cdot 0)}$

Étape 7.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{\cos (6 \cdot 0)}$

Étape 7.4

Convertissez de $\frac{1}{\cos (6 \cdot 0)}$ à $\sec (6 \cdot 0)$ .

$\frac{1}{6} \sec (6 \cdot 0)$

Étape 7.5

Multipliez $6$ par $0$ .

$\frac{1}{6} \sec (0)$

Étape 7.6

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{6} \cdot 1$

Étape 7.7

Multipliez $\frac{1}{6}$ par $1$ .

$\frac{1}{6}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{6}$

Forme décimale :

$0.1\overline{6}$