Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{4 - \sqrt{16 - x}}{x}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 4 - \sqrt{16 - x}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 4 - lim_{x \to 0} \sqrt{16 - x}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{4 - lim_{x \to 0} \sqrt{16 - x}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{4 - \sqrt{lim_{x \to 0} 16 - x}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{4 - \sqrt{lim_{x \to 0} 16 - lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.5

Évaluez la limite de $16$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{4 - \sqrt{16 - lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.6

Simplifiez les termes.

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Étape 1.1.2.6.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{4 - \sqrt{16 + 0}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.6.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.6.2.1.1

Additionnez $16$ et $0$ .

$\frac{4 - \sqrt{16}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.6.2.1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{4 - \sqrt{4^{2}}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.6.2.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.6.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.2.6.2.2

Soustrayez $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{4 - \sqrt{16 - x}}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{16 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4 - \sqrt{16 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 - \sqrt{16 - x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{16 - x}]$ .

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Étape 1.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{16 - x}$ comme ${(16 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(16 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(16 - x)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(16 - x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(16 - x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 16 - x$ .

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Étape 1.3.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $16 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [16 - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $16 - x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(16 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [16 - x])}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $16 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(16 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.5

Comme $16$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $16$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(16 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(16 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(16 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(16 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(16 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(16 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.4.11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(16 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(16 - x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(16 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1 \cdot 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.13

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(16 - x)}^{- \frac{1}{2}} (0 - 1))}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.14

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(16 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.15

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(16 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - (\frac{{(16 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot - 1)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.16

Associez $\frac{{(16 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{{(16 - x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot - 1}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.17

Déplacez $- 1$ à gauche de ${(16 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{- 1 \cdot {(16 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.18

Réécrivez $- 1 {(16 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ comme $- {(16 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{- {(16 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.19

Placez ${(16 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{- 1}{2 {(16 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.20

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - - \frac{1}{2 {(16 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.21

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + 1 \frac{1}{2 {(16 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.4.22

Multipliez $\frac{1}{2 {(16 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{1}{2 {(16 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{1}{2 {(16 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(16 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{2 {(16 - x)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 {(16 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 1.5

Réécrivez ${(16 - x)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{16 - x}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{16 - x}} \cdot 1$

Étape 1.6

Multipliez $\frac{1}{2 \sqrt{16 - x}}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1}{2 \sqrt{16 - x}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{2} lim_{x \to 0} \frac{1}{\sqrt{16 - x}}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} \sqrt{16 - x}}$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 0} \sqrt{16 - x}}$

Étape 2.4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 16 - x}}$

Étape 2.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to 0} 16 - lim_{x \to 0} x}}$

Étape 2.6

Évaluez la limite de $16$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{16 - lim_{x \to 0} x}}$

Étape 2.7

Simplifiez les termes.

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Étape 2.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{16 + 0}}$

Étape 2.7.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.7.2.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.7.2.1.1

Additionnez $16$ et $0$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{16}}$

Étape 2.7.2.1.2

Réécrivez $16$ comme $4^{2}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

Étape 2.7.2.1.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$

Étape 2.7.2.2

Multipliez $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4}$ .

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Étape 2.7.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 4}$

Étape 2.7.2.2.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$\frac{1}{8}$

Étape 3

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{8}$

Forme décimale :

$0.125$