Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (7 x)}{5 x^{2}}$

Étape 1

Placez le terme $\frac{1}{5}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (7 x)}{x^{2}}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 - \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 - lim_{x \to 0} \cos (7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 - \cos (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.1.4

Placez le terme $7$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 - \cos (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 - \cos (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Multipliez $7$ par $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 - \cos (0)}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.3.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x^{2}}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{{(lim_{x \to 0} x)}^{2}}$

Étape 2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0^{2}}$

Étape 2.1.3.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{5} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (7 x)}{x^{2}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1 - \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - \cos (7 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (7 x)]$ .

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Étape 2.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (7 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (7 x)]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d x} [\cos (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 7 x$ .

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Étape 2.3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.4.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (u) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.4.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (7 x) \cdot 7 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (7 x) \cdot 7 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.4.5

Multipliez $7$ par $1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 1 \sin (7 x) \cdot 7}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.4.6

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{0 - - 7 \sin (7 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.4.7

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{0 + 7 \sin (7 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.5

Additionnez $0$ et $7 \sin (7 x)$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{7 \sin (7 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Étape 2.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{5} lim_{x \to 0} \frac{7 \sin (7 x)}{2 x}$

Étape 3

Placez le terme $\frac{7}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} lim_{x \to 0} \frac{\sin (7 x)}{x}$

Étape 4

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 4.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 4.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} \frac{lim_{x \to 0} \sin (7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 4.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 4.1.2.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} \frac{\sin (lim_{x \to 0} 7 x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.1.2

Placez le terme $7$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} \frac{\sin (7 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} \frac{\sin (7 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1.2.3.1

Multipliez $7$ par $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} \frac{\sin (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.2.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 4.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} \frac{0}{0}$

Étape 4.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} \frac{0}{0}$

Étape 4.2

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (7 x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 4.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (7 x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 7 x$ .

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Étape 4.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) \frac{d}{d x} [7 x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) \cdot 7 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) \cdot 7 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.5

Multipliez $7$ par $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} lim_{x \to 0} \frac{\cos (7 x) \cdot 7}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.6

Déplacez $7$ à gauche de $\cos (7 x)$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} lim_{x \to 0} \frac{7 \cdot \cos (7 x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 4.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} lim_{x \to 0} \frac{7 \cos (7 x)}{1}$

Étape 4.4

Divisez $7 \cos (7 x)$ par $1$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} lim_{x \to 0} 7 \cos (7 x)$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Placez le terme $7$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} \cdot 7 lim_{x \to 0} \cos (7 x)$

Étape 5.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} \cdot 7 \cos (lim_{x \to 0} 7 x)$

Étape 5.3

Placez le terme $7$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} \cdot 7 \cos (7 lim_{x \to 0} x)$

Étape 6

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2} \cdot 7 \cos (7 \cdot 0)$

Étape 7

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.1

Multipliez $\frac{1}{5} \cdot \frac{7}{2}$ .

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Étape 7.1.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{7}{2}$ .

$\frac{7}{5 \cdot 2} \cdot 7 \cos (7 \cdot 0)$

Étape 7.1.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$\frac{7}{10} \cdot 7 \cos (7 \cdot 0)$

Étape 7.2

Multipliez $\frac{7}{10} \cdot 7$ .

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Étape 7.2.1

Associez $\frac{7}{10}$ et $7$ .

$\frac{7 \cdot 7}{10} \cos (7 \cdot 0)$

Étape 7.2.2

Multipliez $7$ par $7$ .

$\frac{49}{10} \cos (7 \cdot 0)$

Étape 7.3

Multipliez $7$ par $0$ .

$\frac{49}{10} \cos (0)$

Étape 7.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{49}{10} \cdot 1$

Étape 7.5

Multipliez $\frac{49}{10}$ par $1$ .

$\frac{49}{10}$

Étape 8

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{49}{10}$

Forme décimale :

$4.9$