Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{2 \tan^{2} (x)}{x}$

Étape 1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x)}{x}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$2 \frac{lim_{x \to 0} \tan^{2} (x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Déplacez l’exposant $2$ de $\tan^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 \frac{{(lim_{x \to 0} \tan (x))}^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$2 \frac{\tan^{2} (lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \frac{\tan^{2} (0)}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$2 \frac{0^{2}}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.2.3.2

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$2 \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$2 (\frac{0}{0})$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{\tan^{2} (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [\tan^{2} (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \tan (x)$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\tan (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 u \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.3

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \tan (x) \sec^{2} (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.4

Réorganisez les facteurs de $2 \tan (x) \sec^{2} (x)$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{\frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 lim_{x \to 0} \frac{2 \sec^{2} (x) \tan (x)}{1}$

Étape 2.4

Divisez $2 \sec^{2} (x) \tan (x)$ par $1$ .

$2 lim_{x \to 0} 2 \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 \cdot 2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \tan (x)$

Étape 3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$2 \cdot 2 lim_{x \to 0} \sec^{2} (x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)$

Étape 3.3

Déplacez l’exposant $2$ de $\sec^{2} (x)$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$2 \cdot 2 {(lim_{x \to 0} \sec (x))}^{2} \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)$

Étape 3.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$2 \cdot 2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot lim_{x \to 0} \tan (x)$

Étape 3.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la tangente est continue.

$2 \cdot 2 \sec^{2} (lim_{x \to 0} x) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)$

Étape 4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \cdot 2 \sec^{2} (0) \cdot \tan (lim_{x \to 0} x)$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \cdot 2 \sec^{2} (0) \cdot \tan (0)$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 \sec^{2} (0) \cdot \tan (0)$

Étape 5.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$4 \cdot 1^{2} \cdot \tan (0)$

Étape 5.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$4 \cdot 1 \cdot \tan (0)$

Étape 5.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 \cdot \tan (0)$

Étape 5.5

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$4 \cdot 0$

Étape 5.6

Multipliez $4$ par $0$ .

$0$