Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ) - 1}{\sin (θ)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{θ \to 0} \cos (θ) - 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{θ \to 0} \cos (θ) - lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{\cos (lim_{θ \to 0} θ) - lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Étape 1.1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $θ$ approche de $0$ .

$\frac{\cos (lim_{θ \to 0} θ) - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $0$ pour $θ$ .

$\frac{\cos (0) - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $0$ pour $θ$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Étape 1.1.3.3

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ) - 1}{\sin (θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (θ) - 1]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (θ) - 1]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\cos (θ) - 1$ par rapport à $θ$ est $\frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\cos (θ)] + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Étape 1.3.3

La dérivée de $\cos (θ)$ par rapport à $θ$ est $- \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \sin (θ) + \frac{d}{d θ} [- 1]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $θ$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $θ$ est $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \sin (θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $- \sin (θ)$ et $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \sin (θ)}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Étape 1.3.6

La dérivée de $\sin (θ)$ par rapport à $θ$ est $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \sin (θ)}{\cos (θ)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $θ$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{θ \to 0} - \sin (θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (θ)}$

Étape 2.2

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $θ$ .

$\frac{- lim_{θ \to 0} \sin (θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (θ)}$

Étape 2.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{- \sin (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} \cos (θ)}$

Étape 2.4

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{- \sin (lim_{θ \to 0} θ)}{\cos (lim_{θ \to 0} θ)}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $θ$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $0$ pour $θ$ .

$\frac{- \sin (0)}{\cos (lim_{θ \to 0} θ)}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $θ$ en insérant $0$ pour $θ$ .

$\frac{- \sin (0)}{\cos (0)}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{- 0}{\cos (0)}$

Étape 4.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{- 0}{1}$

Étape 4.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0}{1}$

Étape 4.4

Divisez $0$ par $1$ .

$0$