Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} (x^{2}) \csc^{2} (x)$

Étape 1

Réécrivez $(x^{2}) \csc^{2} (x)$ comme $\frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Étape 2

Définissez la limite comme une limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Étape 3

Évaluez la limite côté gauche.

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Étape 3.1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Étape 3.1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.1.2.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{-}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Étape 3.1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Étape 3.1.1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \csc^{- 2} (x)}$

Étape 3.1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

Étape 3.1.1.3.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ approche de $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.1.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 3.1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 3.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = \csc (x)$ .

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Étape 3.1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Étape 3.1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Étape 3.1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Étape 3.1.3.4

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

Étape 3.1.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

Étape 3.1.3.6

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

Étape 3.1.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

Étape 3.1.3.8

Soustrayez $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

Étape 3.1.3.9

Simplifiez

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Étape 3.1.3.9.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

Étape 3.1.3.9.2

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

Étape 3.1.3.9.3

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 3.1.3.9.4

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

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Étape 3.1.3.9.4.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $2 \sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 3.1.3.9.4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 3.1.3.9.4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Étape 3.1.3.9.5

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (2 x)}$

Étape 3.2

La limite de $\frac{2 x}{\sin (2 x)}$ lorsque $x$ approche de $0$ est $1$ .

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Étape 3.2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{-}} 2 x}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

Étape 3.2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.2.1.2.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0^{-}} x}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

Étape 3.2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

Étape 3.2.1.2.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{-}} \sin (2 x)}$

Étape 3.2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.2.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 3.2.1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0^{-}} 2 x)}$

Étape 3.2.1.3.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0^{-}} x)}$

Étape 3.2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Étape 3.2.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.2.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Étape 3.2.1.3.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 3.2.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.2.2

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 x}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.2.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 3.2.3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 3.2.3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 3.2.3.5.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 3.2.3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 3.2.3.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 3.2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

Étape 3.2.3.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Étape 3.2.3.9

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

Étape 3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{-}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

Étape 3.2.5

Convertissez de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ à $\sec (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{-}} \sec (2 x)$

Étape 3.2.6

Évaluez la limite.

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Étape 3.2.6.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\sec (lim_{x \to 0^{-}} 2 x)$

Étape 3.2.6.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sec (2 lim_{x \to 0^{-}} x)$

Étape 3.2.7

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\sec (2 \cdot 0)$

Étape 3.2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.2.8.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\sec (0)$

Étape 3.2.8.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$1$

Étape 4

Définissez la limite comme une limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)}$

Étape 5

Évaluez la limite côté droit.

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Étape 5.1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} x^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Étape 5.1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 5.1.1.2.1

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 0^{+}} x)}^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Étape 5.1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0^{2}}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Étape 5.1.1.2.3

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \csc^{- 2} (x)}$

Étape 5.1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1.3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\csc^{2} (x)}}$

Étape 5.1.1.3.2

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{\csc^{2} (x)}$ approche de $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 5.1.1.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 5.1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 5.1.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{x^{2}}{\csc^{- 2} (x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 5.1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 5.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [\csc^{- 2} (x)]}$

Étape 5.1.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 2}$ et $g (x) = \csc (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\frac{d}{d u} [u^{- 2}] \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Étape 5.1.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 u^{- 3} \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Étape 5.1.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}$

Étape 5.1.3.4

La dérivée de $\csc (x)$ par rapport à $x$ est $- \csc (x) \cot (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{- 2 \csc^{- 3} (x) (- \csc (x) \cot (x))}$

Étape 5.1.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 2$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 3} (x) (\csc (x) \cot (x))}$

Étape 5.1.3.6

Élevez $\csc (x)$ à la puissance $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 (\csc^{1} (x) \csc^{- 3} (x)) \cot (x)}$

Étape 5.1.3.7

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {\csc (x)}^{1 - 3} \cot (x)}$

Étape 5.1.3.8

Soustrayez $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \csc^{- 2} (x) \cot (x)}$

Étape 5.1.3.9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.9.1

Réécrivez $\csc (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 {(\frac{1}{\sin (x)})}^{- 2} \cot (x)}$

Étape 5.1.3.9.2

Modifiez le signe de l’exposant en réécrivant la base comme sa réciproque.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \cot (x)}$

Étape 5.1.3.9.3

Réécrivez $\cot (x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \sin^{2} (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 5.1.3.9.4

Annulez le facteur commun de $\sin (x)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.3.9.4.1

Factorisez $\sin (x)$ à partir de $2 \sin^{2} (x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 5.1.3.9.4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (x) (2 \sin (x)) \frac{\cos (x)}{\sin (x)}}$

Étape 5.1.3.9.4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{2 \sin (x) \cos (x)}$

Étape 5.1.3.9.5

Appliquez l’identité d’angle double du sinus.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (2 x)}$

Étape 5.2

La limite de $\frac{2 x}{\sin (2 x)}$ lorsque $x$ approche de $0$ est $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0^{+}} 2 x}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

Étape 5.2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.2.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 0^{+}} x}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

Étape 5.2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{2 \cdot 0}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

Étape 5.2.1.2.3

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0^{+}} \sin (2 x)}$

Étape 5.2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.3.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.3.1.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{\sin (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)}$

Étape 5.2.1.3.1.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 lim_{x \to 0^{+}} x)}$

Étape 5.2.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{\sin (2 \cdot 0)}$

Étape 5.2.1.3.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1.3.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Étape 5.2.1.3.3.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 5.2.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 5.2.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 5.2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 5.2.2

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 x}{\sin (2 x)} = lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 5.2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{\frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 5.2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 5.2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 5.2.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 5.2.3.5

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 5.2.3.5.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 5.2.3.5.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 5.2.3.5.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}$

Étape 5.2.3.6

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 5.2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) (2 \cdot 1)}$

Étape 5.2.3.8

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{\cos (2 x) \cdot 2}$

Étape 5.2.3.9

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

Étape 5.2.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{2}{2 \cos (2 x)}$

Étape 5.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0^{+}} \frac{1}{\cos (2 x)}$

Étape 5.2.5

Convertissez de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ à $\sec (2 x)$ .

$lim_{x \to 0^{+}} \sec (2 x)$

Étape 5.2.6

Évaluez la limite.

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Étape 5.2.6.1

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car la sécante est continue.

$\sec (lim_{x \to 0^{+}} 2 x)$

Étape 5.2.6.2

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sec (2 lim_{x \to 0^{+}} x)$

Étape 5.2.7

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\sec (2 \cdot 0)$

Étape 5.2.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.2.8.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\sec (0)$

Étape 5.2.8.2

La valeur exacte de $\sec (0)$ est $1$ .

$1$

Étape 6

Comme la limite côté gauche est égale à la limite côté droit, la limite est égale à $1$ .

$1$