Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{4 x^{6} - x}}{x^{3} + 2}$

Étape 1

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{6} - x$ .

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Étape 1.1

Factorisez $x$ à partir de $4 x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (4 x^{5}) - x}}{x^{3} + 2}$

Étape 1.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (4 x^{5}) + x \cdot - 1}}{x^{3} + 2}$

Étape 1.3

Factorisez $x$ à partir de $x (4 x^{5}) + x \cdot - 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x (4 x^{5} - 1)}}{x^{3} + 2}$

Étape 2

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $\sqrt{x^{6}} = x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (4 x^{5} - 1)}{x^{6}}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{2}{x^{3}}}$

Étape 3

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (4 x^{5} - 1)}{x^{6}}}}{1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Étape 4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{6}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (4 x^{5} - 1)}{x \cdot x^{5}}}}{1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Étape 4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x (4 x^{5} - 1)}{x \cdot x^{5}}}}{1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Étape 4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{4 x^{5} - 1}{x^{5}}}}{1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{4 x^{5} - 1}{x^{5}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Étape 5.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{5} - 1}{x^{5}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Étape 6

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{5}$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Étape 7

Évaluez la limite.

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Étape 7.1

Annulez le facteur commun de $x^{5}$ .

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Étape 7.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4 x^{5}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Étape 7.1.2

Divisez $4$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun de $x^{5}$ .

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{1}{x^{5}}}{\frac{x^{5}}{x^{5}}}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Étape 7.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{4 - \frac{1}{x^{5}}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Étape 7.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 - \frac{1}{x^{5}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Étape 7.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 4 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Étape 7.5

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{4 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{5}}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Étape 8

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{5}}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{4 - 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Étape 9

Évaluez la limite.

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Étape 9.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{4 - 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{2}{x^{3}}}$

Étape 9.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{4 - 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{3}}}$

Étape 9.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{4 - 0}{1}}}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{2}{x^{3}}}$

Étape 9.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{4 - 0}{1}}}{1 + 2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 10

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{4 - 0}{1}}}{1 + 2 \cdot 0}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Divisez $4 - 0$ par $1$ .

$\frac{\sqrt{4 - 0}}{1 + 2 \cdot 0}$

Étape 11.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 11.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{\sqrt{4 + 0}}{1 + 2 \cdot 0}$

Étape 11.2.2

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{\sqrt{4}}{1 + 2 \cdot 0}$

Étape 11.2.3

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$\frac{\sqrt{2^{2}}}{1 + 2 \cdot 0}$

Étape 11.2.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{2}{1 + 2 \cdot 0}$

Étape 11.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.3.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{2}{1 + 0}$

Étape 11.3.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{2}{1}$

Étape 11.4

Divisez $2$ par $1$ .

$2$