Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 1} \frac{5 - \sqrt{3 x + 28}}{x + 1}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 1} 5 - \sqrt{3 x + 28}}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} 5 - lim_{x \to - 1} \sqrt{3 x + 28}}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2.1.2

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{5 - lim_{x \to - 1} \sqrt{3 x + 28}}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2.1.3

Placez la limite sous le radical.

$\frac{5 - \sqrt{lim_{x \to - 1} 3 x + 28}}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2.1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{5 - \sqrt{lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 28}}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2.1.5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 - \sqrt{3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 28}}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2.1.6

Évaluez la limite de $28$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{5 - \sqrt{3 lim_{x \to - 1} x + 28}}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{5 - \sqrt{3 \cdot - 1 + 28}}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{5 - \sqrt{- 3 + 28}}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Additionnez $- 3$ et $28$ .

$\frac{5 - \sqrt{25}}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$\frac{5 - \sqrt{5^{2}}}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $5$ de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{0}{- 1 + 1}$

Étape 1.1.3.3

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 1} \frac{5 - \sqrt{3 x + 28}}{x + 1} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{3 x + 28}]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{3 x + 28}]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - \sqrt{3 x + 28}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x + 28}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x + 28}]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x + 28}]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sqrt{3 x + 28}]$ .

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Étape 1.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{3 x + 28}$ comme ${(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- {(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.4.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- {(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [{(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [{(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 3 x + 28$ .

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Étape 1.3.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x + 28$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x + 28])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 28])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x + 28$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(3 x + 28)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x + 28])}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.4.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 x + 28$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [28]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(3 x + 28)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [28]))}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.4.5

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(3 x + 28)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [28]))}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(3 x + 28)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [28]))}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.4.7

Comme $28$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $28$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(3 x + 28)}^{\frac{1}{2} - 1} (3 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.4.8

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(3 x + 28)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (3 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.4.9

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(3 x + 28)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (3 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.4.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(3 x + 28)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (3 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.4.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.3.4.11.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(3 x + 28)}^{\frac{1 - 2}{2}} (3 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.4.11.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(3 x + 28)}^{\frac{- 1}{2}} (3 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.4.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(3 x + 28)}^{- \frac{1}{2}} (3 \cdot 1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.4.13

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(3 x + 28)}^{- \frac{1}{2}} (3 + 0))}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.4.14

Additionnez $3$ et $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{1}{2} {(3 x + 28)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 3)}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.4.15

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(3 x + 28)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - (\frac{{(3 x + 28)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 3)}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.4.16

Associez $\frac{{(3 x + 28)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ et $3$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - \frac{{(3 x + 28)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 3}{2}}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.4.17

Déplacez $3$ à gauche de ${(3 x + 28)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - \frac{3 \cdot {(3 x + 28)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.4.18

Placez ${(3 x + 28)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{0 - \frac{3}{2 {(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.5

Soustrayez $\frac{3}{2 {(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{3}{2 {(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x + 1]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{3}{2 {(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{3}{2 {(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + \frac{d}{d x} [1]}$

Étape 1.3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{3}{2 {(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}}}}{1 + 0}$

Étape 1.3.9

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{- \frac{3}{2 {(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}}}}{1}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to - 1} - \frac{3}{2 {(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Étape 1.5

Réécrivez ${(3 x + 28)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{3 x + 28}$ .

$lim_{x \to - 1} - \frac{3}{2 \sqrt{3 x + 28}} \cdot 1$

Étape 1.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} - \frac{3}{2 \sqrt{3 x + 28}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to - 1} \frac{3}{2 \sqrt{3 x + 28}}$

Étape 2.2

Placez le terme $\frac{3}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- \frac{3}{2} lim_{x \to - 1} \frac{1}{\sqrt{3 x + 28}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} \sqrt{3 x + 28}}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{lim_{x \to - 1} \sqrt{3 x + 28}}$

Étape 2.5

Placez la limite sous le radical.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to - 1} 3 x + 28}}$

Étape 2.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 28}}$

Étape 2.7

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 28}}$

Étape 2.8

Évaluez la limite de $28$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3 lim_{x \to - 1} x + 28}}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3 \cdot - 1 + 28}}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{- 3 + 28}}$

Étape 4.1.2

Additionnez $- 3$ et $28$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{25}}$

Étape 4.1.3

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{5^{2}}}$

Étape 4.1.4

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{5}$

Étape 4.2

Multipliez $- \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{5}$ .

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Étape 4.2.1

Multipliez $\frac{1}{5}$ par $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{5 \cdot 2}$

Étape 4.2.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$- \frac{3}{10}$

Étape 5

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{3}{10}$

Forme décimale :

$- 0.3$