Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{x + \sin (2 x)}{x - \sin (2 x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} \sin (2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Étape 1.1.2.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Étape 1.1.2.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{lim_{x \to 0} x + \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0 + \sin (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Étape 1.1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0 + \sin (2 \cdot 0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0 + \sin (0)}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Étape 1.1.2.5.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Étape 1.1.2.5.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - lim_{x \to 0} \sin (2 x)}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Étape 1.1.3.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0 - \sin (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 1.1.3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0 - \sin (2 \cdot 0)}$

Étape 1.1.3.5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.5.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.5.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0}{0 - \sin (0)}$

Étape 1.1.3.5.1.2

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{0}{0 - 0}$

Étape 1.1.3.5.1.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0}{0 + 0}$

Étape 1.1.3.5.2

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.5.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{x + \sin (2 x)}{x - \sin (2 x)} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x + \sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Étape 1.3.4.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Étape 1.3.4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Étape 1.3.4.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Étape 1.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (2 x) (2 \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Étape 1.3.4.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + \cos (2 x) \cdot 2}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Étape 1.3.4.5

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x - \sin (2 x)]}$

Étape 1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 + \frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]}$

Étape 1.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \sin (2 x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \sin (2 x)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]}$

Étape 1.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 2 x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.7.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x])}$

Étape 1.3.7.2.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\cos (u) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Étape 1.3.7.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x])}$

Étape 1.3.7.3

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x]))}$

Étape 1.3.7.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\cos (2 x) (2 \cdot 1))}$

Étape 1.3.7.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (\cos (2 x) \cdot 2)}$

Étape 1.3.7.6

Déplacez $2$ à gauche de $\cos (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - (2 \cdot \cos (2 x))}$

Étape 1.3.7.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{1 + 2 \cos (2 x)}{1 - 2 \cos (2 x)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 + 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1 + lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Étape 2.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 + 2 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Étape 2.5

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1 + 2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Étape 2.6

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - 2 \cos (2 x)}$

Étape 2.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{lim_{x \to 0} 1 - lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}$

Étape 2.8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - lim_{x \to 0} 2 \cos (2 x)}$

Étape 2.9

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - 2 lim_{x \to 0} \cos (2 x)}$

Étape 2.10

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - 2 \cos (lim_{x \to 0} 2 x)}$

Étape 2.11

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}{1 - 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 \cdot 0)}{1 - 2 \cos (2 lim_{x \to 0} x)}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{1 + 2 \cos (2 \cdot 0)}{1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{1 + 2 \cos (0)}{1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}$

Étape 4.1.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{1 + 2 \cdot 1}{1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}$

Étape 4.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{1 + 2}{1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}$

Étape 4.1.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{3}{1 - 2 \cos (2 \cdot 0)}$

Étape 4.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{3}{1 - 2 \cos (0)}$

Étape 4.2.2

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{3}{1 - 2 \cdot 1}$

Étape 4.2.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{3}{1 - 2}$

Étape 4.2.4

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{3}{- 1}$

Étape 4.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{3}{- 1}$ .

$- 1 \cdot 3$

Étape 4.4

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3$