Calcul infinitésimal Exemples

$\int_{0}^{\infty} e^{- 2 x} d x$

Étape 1

Écrivez l’intégrale comme une limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x$

Étape 2

Laissez $u = - 2 x$ . Alors $d u = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.1

Laissez $u = - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.1.1

Différenciez $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 2.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 2.2

Remplacez la limite inférieure pour $x$ dans $u = - 2 x$ .

$u_{lower} = - 2 \cdot 0$

Étape 2.3

Multipliez $- 2$ par $0$ .

$u_{lower} = 0$

Étape 2.4

Remplacez la limite supérieure pour $x$ dans $u = - 2 x$ .

$u_{upper} = - 2 t$

Étape 2.5

Les valeurs déterminées pour $u_{lower}$ et $u_{upper}$ seront utilisées pour évaluer l’intégrale définie.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2 t$

Étape 2.6

Réécrivez le problème en utilisant $u$ , $d u$ et les nouvelles limites d’intégration.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} \frac{1}{- 2} d u$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} (- \frac{1}{2}) d u$

Étape 3.2

Associez $e^{u}$ et $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{0}^{- 2 t} - \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to \infty} - \int_{0}^{- 2 t} \frac{e^{u}}{2} d u$

Étape 5

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$lim_{t \to \infty} - (\frac{1}{2} \int_{0}^{- 2 t} e^{u} d u)$

Étape 6

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{1}{2} e^{u}]_{0}^{- 2 t}$

Étape 7

Associez $e^{u}]_{0}^{- 2 t}$ et $\frac{1}{2}$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2 t}}{2}$

Étape 8

Remplacez et simplifiez.

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Étape 8.1

Évaluez $e^{u}$ sur $- 2 t$ et sur $0$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{(e^{- 2 t}) - e^{0}}{2}$

Étape 8.2

Simplifiez

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Étape 8.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- 2 t} - 1 \cdot 1}{2}$

Étape 8.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{t \to \infty} - \frac{e^{- 2 t} - 1}{2}$

Étape 9

Évaluez la limite.

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Étape 9.1

Évaluez la limite.

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Étape 9.1.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{e^{- 2 t} - 1}{2}$

Étape 9.1.2

Placez le terme $\frac{1}{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - 1$

Étape 9.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} e^{- 2 t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 9.2

Comme l’exposant $- 2 t$ approche de $- \infty$ , la quantité $e^{- 2 t}$ approche de $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Étape 9.3

Évaluez la limite.

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Étape 9.3.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $t$ approche de $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Étape 9.3.2

Simplifiez la réponse.

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Étape 9.3.2.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

Étape 9.3.2.2

Soustrayez $1$ de $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

Étape 9.3.2.3

Multipliez $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

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Étape 9.3.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Étape 9.3.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$\frac{1}{2}$

Étape 10

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{1}{2}$

Forme décimale :

$0.5$