Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 1} \sqrt{u^{2} x^{2} + 2 x u + 1}$

Étape 1

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt{lim_{x \to - 1} u^{2} x^{2} + 2 x u + 1}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\sqrt{lim_{x \to - 1} u^{2} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x u + lim_{x \to - 1} 1}$

Étape 3

Placez le terme $u^{2}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{u^{2} lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x u + lim_{x \to - 1} 1}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt{u^{2} {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 2 x u + lim_{x \to - 1} 1}$

Étape 5

Placez le terme $2 u$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{u^{2} {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 u lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 1}$

Étape 6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\sqrt{u^{2} {(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 2 u lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 7

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\sqrt{u^{2} {(- 1)}^{2} + 2 u lim_{x \to - 1} x + 1}$

Étape 7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\sqrt{u^{2} {(- 1)}^{2} + 2 u \cdot - 1 + 1}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Réécrivez $u^{2} {(- 1)}^{2}$ comme ${(u \cdot - 1)}^{2}$ .

$\sqrt{{(u \cdot - 1)}^{2} + 2 (u \cdot - 1) + 1}$

Étape 8.2

Laissez $u = u \cdot - 1$ . Remplacez toutes les occurrences de $u \cdot - 1$ par $u$ .

$\sqrt{u^{2} + 2 u + 1}$

Étape 8.3

Factorisez en utilisant la règle du carré parfait.

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Étape 8.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\sqrt{u^{2} + 2 u + 1^{2}}$

Étape 8.3.2

Vérifiez que le terme central est le double du produit des nombres élevés au carré dans le premier terme et le troisième terme.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Étape 8.3.3

Réécrivez le polynôme.

$\sqrt{u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}}$

Étape 8.3.4

Factorisez en utilisant la règle trinomiale du carré parfait $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , où $a = u$ et $b = 1$ .

$\sqrt{{(u + 1)}^{2}}$

Étape 8.4

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $u \cdot - 1$ .

$\sqrt{{(u \cdot - 1 + 1)}^{2}}$

Étape 8.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.5.1

Déplacez $- 1$ à gauche de $u$ .

$\sqrt{{(- 1 \cdot u + 1)}^{2}}$

Étape 8.5.2

Réécrivez $- 1 u$ comme $- u$ .

$\sqrt{{(- u + 1)}^{2}}$

Étape 8.6

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$- (- u + 1)$

Étape 8.7

Appliquez la propriété distributive.

$- - u - 1 \cdot 1$

Étape 8.8

Multipliez $- - u$ .

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Étape 8.8.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 u - 1 \cdot 1$

Étape 8.8.2

Multipliez $u$ par $1$ .

$u - 1 \cdot 1$

Étape 8.9

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$u - 1$