Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \ln (\frac{x}{e^{2 x}})$

Étape 1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\ln (lim_{x \to 1} \frac{x}{e^{2 x}})$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\ln (\frac{lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} e^{2 x}})$

Étape 3

Placez la limite dans l’exposant.

$\ln (\frac{lim_{x \to 1} x}{e^{lim_{x \to 1} 2 x}})$

Étape 4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\ln (\frac{lim_{x \to 1} x}{e^{2 lim_{x \to 1} x}})$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\ln (\frac{1}{e^{2 lim_{x \to 1} x}})$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\ln (\frac{1}{e^{2 \cdot 1}})$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Placez $e^{2 \cdot 1}$ sur le numérateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\ln (e^{- 2})$

Étape 6.2

Développez $\ln (e^{- 2})$ en déplaçant $- 2$ hors du logarithme.

$- 2 \ln (e)$

Étape 6.3

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 6.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$