Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{\tan (2 x)}{\sin (x)}$

Étape 1

Appliquez des identités trigonométriques.

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Étape 1.1

Réécrivez $\tan (2 x)$ en termes de sinus et de cosinus.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\sin (x)}$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}}{\sin (x)}$ comme un produit.

$lim_{x \to 0} \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Convertissez de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ à $\tan (2 x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (2 x) \frac{1}{\sin (x)}$

Étape 1.3.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x)}$ à $\csc (x)$ .

$lim_{x \to 0} \tan (2 x) \csc (x)$

Étape 2

Regardez la limite côté gauche.

$lim_{x \to 0^{-}} \tan (2 x) \csc (x)$

Étape 3

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\tan (2 x) \csc (x)$ lorsque $x$ approche de $0$ par la gauche.

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \csc (x) \\ - 0.1 & 2.0304828 \\ - 0.01 & 2.00030004 \\ - 0.001 & 2.000003 \end{array}$

Étape 4

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $2$ . Ainsi, la limite de $\tan (2 x) \csc (x)$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté gauche est $2$ .

$2$

Étape 5

Regardez la limite côté droit.

$lim_{x \to 0^{+}} \tan (2 x) \csc (x)$

Étape 6

Créez un tableau pour représenter le comportement de la fonction $\tan (2 x) \csc (x)$ lorsque $x$ approche de $0$ par la droite.

$\begin{array}{c} x & \tan (2 x) \csc (x) \\ 0.1 & 2.0304828 \\ 0.01 & 2.00030004 \\ 0.001 & 2.000003 \end{array}$

Étape 7

Lorsque les valeurs $x$ approchent de $0$ , les valeurs de la fonction approchent de $2$ . Ainsi, la limite de $\tan (2 x) \csc (x)$ lorsque $x$ approche de $0$ depuis le côté droit est $2$ .

$2$