Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 3 x + 2}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} - 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 3 x + 2}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{lim_{x \to - 1} x^{2} - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 3 x + 2}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - lim_{x \to - 1} 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 3 x + 2}$

Étape 1.1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 3 x + 2}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{{(- 1)}^{2} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 3 x + 2}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 3 x + 2}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 3 x + 2}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{2} + 3 x + 2}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 1} x^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 2}$

Étape 1.1.3.2

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + lim_{x \to - 1} 3 x + lim_{x \to - 1} 2}$

Étape 1.1.3.3

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 2}$

Étape 1.1.3.4

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 1} x)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 2}$

Étape 1.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + 3 lim_{x \to - 1} x + 2}$

Étape 1.1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$\frac{0}{{(- 1)}^{2} + 3 \cdot - 1 + 2}$

Étape 1.1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.6.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.6.1.1

Élevez $- 1$ à la puissance $2$ .

$\frac{0}{1 + 3 \cdot - 1 + 2}$

Étape 1.1.3.6.1.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{0}{1 - 3 + 2}$

Étape 1.1.3.6.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{0}{- 2 + 2}$

Étape 1.1.3.6.3

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.6.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to - 1} \frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 3 x + 2} = lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 2]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 2]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 2]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 2]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 2]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x + 2]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + 3 x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x}{2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Étape 1.3.8

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 1.3.8.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x}{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]}$

Étape 1.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x}{2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]}$

Étape 1.3.8.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x}{2 x + 3 + \frac{d}{d x} [2]}$

Étape 1.3.9

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x}{2 x + 3 + 0}$

Étape 1.3.10

Additionnez $2 x + 3$ et $0$ .

$lim_{x \to - 1} \frac{2 x}{2 x + 3}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to - 1} \frac{x}{2 x + 3}$

Étape 2.2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} 2 x + 3}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 1} x}{lim_{x \to - 1} 2 x + lim_{x \to - 1} 3}$

Étape 2.4

Placez le terme $2$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 1} x}{2 lim_{x \to - 1} x + lim_{x \to - 1} 3}$

Étape 2.5

Évaluez la limite de $3$ qui est constante lorsque $x$ approche de $- 1$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 1} x}{2 lim_{x \to - 1} x + 3}$

Étape 3

Évaluez les limites en insérant $- 1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$2 \frac{- 1}{2 lim_{x \to - 1} x + 3}$

Étape 3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $- 1$ pour $x$ .

$2 \frac{- 1}{2 \cdot - 1 + 3}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 4.1.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 \frac{- 1}{- 2 + 3}$

Étape 4.1.2

Additionnez $- 2$ et $3$ .

$2 (\frac{- 1}{1})$

Étape 4.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$2 \cdot - 1$

Étape 4.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$- 2$