Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{1}{e^{x - 1} - 1} - \frac{1}{x - 1}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $\frac{1}{e^{x - 1} - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{e^{x - 1} - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1}$

Étape 1.2

Pour écrire $- \frac{1}{x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{e^{x - 1} - 1}{e^{x - 1} - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{e^{x - 1} - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{e^{x - 1} - 1}{e^{x - 1} - 1}$

Étape 1.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(e^{x - 1} - 1) (x - 1)$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.3.1

Multipliez $\frac{1}{e^{x - 1} - 1}$ par $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(e^{x - 1} - 1) (x - 1)} - \frac{1}{x - 1} \cdot \frac{e^{x - 1} - 1}{e^{x - 1} - 1}$

Étape 1.3.2

Multipliez $\frac{1}{x - 1}$ par $\frac{e^{x - 1} - 1}{e^{x - 1} - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(e^{x - 1} - 1) (x - 1)} - \frac{e^{x - 1} - 1}{(x - 1) (e^{x - 1} - 1)}$

Étape 1.3.3

Réorganisez les facteurs de $(x - 1) (e^{x - 1} - 1)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{(e^{x - 1} - 1) (x - 1)} - \frac{e^{x - 1} - 1}{(e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

Étape 1.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1 - (e^{x - 1} - 1)}{(e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 - (e^{x - 1} - 1)}{lim_{x \to 1} (e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

Étape 2.1.2

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite de $x - 1 - (e^{x - 1} - 1)$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1 - 1 - (e^{1 - 1} - 1)}{lim_{x \to 1} (e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

Étape 2.1.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.2.1.1

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1 - 1 - (e^{0} - 1)}{lim_{x \to 1} (e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

Étape 2.1.2.2.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 - (1 - 1)}{lim_{x \to 1} (e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

Étape 2.1.2.2.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1 - 1 - 0}{lim_{x \to 1} (e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

Étape 2.1.2.2.3

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} (e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

Étape 2.1.2.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} (e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

Étape 2.1.2.4

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} (e^{x - 1} - 1) (x - 1)}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} e^{x - 1} - 1 \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 2.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{(lim_{x \to 1} e^{x - 1} - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 2.1.3.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{0}{(e^{lim_{x \to 1} x - 1} - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 2.1.3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{(e^{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1} - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 2.1.3.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{(e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - lim_{x \to 1} 1) \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 2.1.3.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{(e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1) \cdot lim_{x \to 1} x - 1}$

Étape 2.1.3.7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{(e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1)}$

Étape 2.1.3.8

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{(e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

Étape 2.1.3.9

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.3.9.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{(e^{1 - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1) \cdot (lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1)}$

Étape 2.1.3.9.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{(e^{1 - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1) \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Étape 2.1.3.10

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.10.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.3.10.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{(e^{1 - 1} - 1 \cdot 1) \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Étape 2.1.3.10.1.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{(e^{0} - 1 \cdot 1) \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Étape 2.1.3.10.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{0}{(1 - 1 \cdot 1) \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Étape 2.1.3.10.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{(1 - 1) \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Étape 2.1.3.10.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1 \cdot 1)}$

Étape 2.1.3.10.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot (1 - 1)}$

Étape 2.1.3.10.4

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 0}$

Étape 2.1.3.10.5

Multipliez $0$ par $0$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.10.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.11

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1 - (e^{x - 1} - 1)}{(e^{x - 1} - 1) (x - 1)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1 - (e^{x - 1} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1 - (e^{x - 1} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1 - (e^{x - 1} - 1)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- (e^{x - 1} - 1)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- (e^{x - 1} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1] + \frac{d}{d x} [- (e^{x - 1} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 + \frac{d}{d x} [- (e^{x - 1} - 1)]}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Étape 2.3.5

Évaluez $\frac{d}{d x} [- (e^{x - 1} - 1)]$ .

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Étape 2.3.5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (e^{x - 1} - 1)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{x - 1} - 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - \frac{d}{d x} [e^{x - 1} - 1]}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Étape 2.3.5.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x - 1} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (\frac{d}{d x} [e^{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Étape 2.3.5.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 2.3.5.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Étape 2.3.5.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (e^{u} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Étape 2.3.5.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Étape 2.3.5.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (e^{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Étape 2.3.5.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (e^{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Étape 2.3.5.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (e^{x - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1])}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Étape 2.3.5.7

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (e^{x - 1} (1 + 0) + 0)}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Étape 2.3.5.8

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (e^{x - 1} \cdot 1 + 0)}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Étape 2.3.5.9

Multipliez $e^{x - 1}$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - (e^{x - 1} + 0)}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Étape 2.3.5.10

Additionnez $e^{x - 1}$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0 - e^{x - 1}}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Étape 2.3.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{\frac{d}{d x} [(e^{x - 1} - 1) (x - 1)]}$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{x - 1} - 1$ et $g (x) = x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{(e^{x - 1} - 1) \frac{d}{d x} [x - 1] + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x - 1} - 1]}$

Étape 2.3.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{(e^{x - 1} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x - 1} - 1]}$

Étape 2.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{(e^{x - 1} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x - 1} - 1]}$

Étape 2.3.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{(e^{x - 1} - 1) (1 + 0) + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x - 1} - 1]}$

Étape 2.3.11

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{(e^{x - 1} - 1) \cdot 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x - 1} - 1]}$

Étape 2.3.12

Multipliez $e^{x - 1} - 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) \frac{d}{d x} [e^{x - 1} - 1]}$

Étape 2.3.13

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x - 1} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (\frac{d}{d x} [e^{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Étape 2.3.14

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 2.3.14.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Étape 2.3.14.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (e^{u} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Étape 2.3.14.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1] + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Étape 2.3.15

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (e^{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Étape 2.3.16

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (e^{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Étape 2.3.17

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (e^{x - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Étape 2.3.18

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (e^{x - 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Étape 2.3.19

Multipliez $e^{x - 1}$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (e^{x - 1} + \frac{d}{d x} [- 1])}$

Étape 2.3.20

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) (e^{x - 1} + 0)}$

Étape 2.3.21

Additionnez $e^{x - 1}$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} - 1 + (x - 1) e^{x - 1}}$

Étape 2.3.22

Simplifiez

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Étape 2.3.22.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} (x - 1) + e^{x - 1} - 1}$

Étape 2.3.22.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.22.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} x + e^{x - 1} \cdot - 1 + e^{x - 1} - 1}$

Étape 2.3.22.2.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $e^{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} x - 1 \cdot e^{x - 1} + e^{x - 1} - 1}$

Étape 2.3.22.2.3

Réécrivez $- 1 e^{x - 1}$ comme $- e^{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} x - e^{x - 1} + e^{x - 1} - 1}$

Étape 2.3.22.3

Associez les termes opposés dans $e^{x - 1} x - e^{x - 1} + e^{x - 1} - 1$ .

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Étape 2.3.22.3.1

Additionnez $- e^{x - 1}$ et $e^{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} x + 0 - 1}$

Étape 2.3.22.3.2

Additionnez $e^{x - 1} x$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{e^{x - 1} x - 1}$

Étape 2.3.22.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x - 1} x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{x e^{x - 1} - 1}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - e^{x - 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} e^{x - 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

Étape 3.1.2.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 1} e^{x - 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

Étape 3.1.2.1.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{1 - e^{lim_{x \to 1} x - 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

Étape 3.1.2.1.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1 - e^{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

Étape 3.1.2.1.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1 - e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

Étape 3.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1 - e^{1 - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.2.3.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - e^{1 - 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

Étape 3.1.2.3.1.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1 - e^{0}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

Étape 3.1.2.3.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

Étape 3.1.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

Étape 3.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - 1}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 3.1.3.2

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} e^{x - 1} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 3.1.3.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 3.1.3.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 3.1.3.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 3.1.3.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.7

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.3.7.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.7.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 \cdot e^{1 - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.8

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.3.8.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.8.1.1

Multipliez $e^{1 - 1 \cdot 1}$ par $1$ .

$\frac{0}{e^{1 - 1 \cdot 1} - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.8.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{e^{1 - 1} - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.8.1.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{e^{0} - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.8.1.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 3.1.3.8.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 3.1.3.8.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.8.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.9

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 3.2

$lim_{x \to 1} \frac{1 - e^{x - 1}}{x e^{x - 1} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - e^{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - e^{x - 1}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x - 1}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- e^{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Étape 3.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- e^{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Étape 3.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- e^{x - 1}]$ .

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Étape 3.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- e^{x - 1}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [e^{x - 1}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [e^{x - 1}]}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Étape 3.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 3.3.4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Étape 3.3.4.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (e^{u} \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Étape 3.3.4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1])}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Étape 3.3.4.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (e^{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]))}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Étape 3.3.4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (e^{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1]))}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Étape 3.3.4.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (e^{x - 1} (1 + 0))}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Étape 3.3.4.6

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - (e^{x - 1} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Étape 3.3.4.7

Multipliez $e^{x - 1}$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - e^{x - 1}}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Étape 3.3.5

Soustrayez $e^{x - 1}$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1} - 1]}$

Étape 3.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x e^{x - 1} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x e^{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{\frac{d}{d x} [x e^{x - 1}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [x e^{x - 1}]$ .

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Étape 3.3.7.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = e^{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x \frac{d}{d x} [e^{x - 1}] + e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x - 1$ .

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Étape 3.3.7.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - 1]) + e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.3.7.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x (e^{u} \frac{d}{d x} [x - 1]) + e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.3.7.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x (e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x - 1]) + e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.3.7.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x (e^{x - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.3.7.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x (e^{x - 1} (1 + \frac{d}{d x} [- 1])) + e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.3.7.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x (e^{x - 1} (1 + 0)) + e^{x - 1} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.3.7.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x (e^{x - 1} (1 + 0)) + e^{x - 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.3.7.7

Additionnez $1$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x (e^{x - 1} \cdot 1) + e^{x - 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.3.7.8

Multipliez $e^{x - 1}$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x e^{x - 1} + e^{x - 1} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.3.7.9

Multipliez $e^{x - 1}$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x e^{x - 1} + e^{x - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 3.3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x e^{x - 1} + e^{x - 1} + 0}$

Étape 3.3.9

Simplifiez

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Étape 3.3.9.1

Additionnez $x e^{x - 1} + e^{x - 1}$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x e^{x - 1} + e^{x - 1}}$

Étape 3.3.9.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{e^{x - 1} x + e^{x - 1}}$

Étape 3.3.9.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x - 1} x + e^{x - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- e^{x - 1}}{x e^{x - 1} + e^{x - 1}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} - e^{x - 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} + e^{x - 1}}$

Étape 4.2

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{- lim_{x \to 1} e^{x - 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} + e^{x - 1}}$

Étape 4.3

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} + e^{x - 1}}$

Étape 4.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} + e^{x - 1}}$

Étape 4.5

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} + e^{x - 1}}$

Étape 4.6

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x e^{x - 1} + lim_{x \to 1} e^{x - 1}}$

Étape 4.7

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} e^{x - 1} + lim_{x \to 1} e^{x - 1}}$

Étape 4.8

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1} + lim_{x \to 1} e^{x - 1}}$

Étape 4.9

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1} + lim_{x \to 1} e^{x - 1}}$

Étape 4.10

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} + lim_{x \to 1} e^{x - 1}}$

Étape 4.11

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} + e^{lim_{x \to 1} x - 1}}$

Étape 4.12

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} + e^{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}}$

Étape 4.13

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{- e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} + e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{- e^{1 - 1 \cdot 1}}{lim_{x \to 1} x \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} + e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{- e^{1 - 1 \cdot 1}}{1 \cdot e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1} + e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{- e^{1 - 1 \cdot 1}}{1 \cdot e^{1 - 1 \cdot 1} + e^{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}}$

Étape 5.4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{- e^{1 - 1 \cdot 1}}{1 \cdot e^{1 - 1 \cdot 1} + e^{1 - 1 \cdot 1}}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- e^{1 - 1}}{1 \cdot e^{1 - 1 \cdot 1} + e^{1 - 1 \cdot 1}}$

Étape 6.1.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{- e^{0}}{1 \cdot e^{1 - 1 \cdot 1} + e^{1 - 1 \cdot 1}}$

Étape 6.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{1 \cdot e^{1 - 1 \cdot 1} + e^{1 - 1 \cdot 1}}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Multipliez $e^{1 - 1 \cdot 1}$ par $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{e^{1 - 1 \cdot 1} + e^{1 - 1 \cdot 1}}$

Étape 6.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{e^{1 - 1} + e^{1 - 1 \cdot 1}}$

Étape 6.2.3

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{e^{0} + e^{1 - 1 \cdot 1}}$

Étape 6.2.4

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{1 + e^{1 - 1 \cdot 1}}$

Étape 6.2.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{1 + e^{1 - 1}}$

Étape 6.2.6

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{1 + e^{0}}$

Étape 6.2.7

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{1 + 1}$

Étape 6.2.8

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Étape 6.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Étape 6.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{2}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{2}$

Forme décimale :

$- 0.5$