Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{2 x^{2} - 1}{x^{3} + x^{2} + 1}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x^{2}}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{3}$ .

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Étape 2.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $2 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.1.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2} x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2} \cdot 2}{x^{2} x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{\frac{x^{3}}{x^{3}} + \frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{x^{2}}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{3}$ .

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Étape 2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{3}} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{x^{2} \cdot 1}{x^{2} x} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{2}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 2.5

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 4

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 5

Évaluez la limite.

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Étape 5.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 6

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{1 + 0 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 7

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{3}}$ approche de $0$ .

$\frac{2 \cdot 0 - 0}{1 + 0 + 0}$

Étape 8

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 8.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{0 - 0}{1 + 0 + 0}$

Étape 8.1.2

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{0 + 0}{1 + 0 + 0}$

Étape 8.1.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{1 + 0 + 0}$

Étape 8.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 8.2.1

Additionnez $1 + 0$ et $0$ .

$\frac{0}{1 + 0}$

Étape 8.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{0}{1}$

Étape 8.3

Divisez $0$ par $1$ .

$0$