Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{x^{a} - 1}{x^{b} - 1}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} x^{a} - 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x^{a} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $a$ de $x^{a}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{a} - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Étape 1.1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} x)}^{a} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1^{a} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{b} - 1}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} x^{b} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 1.1.3.1.2

Déplacez l’exposant $b$ de $x^{b}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{b} - lim_{x \to 1} 1}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 1} x)}^{b} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1^{b} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{a} - 1}{x^{b} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{a} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{a} - 1]}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{a} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{a}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x^{a}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = a$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1} + 0}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Étape 1.3.5

Simplifiez

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Étape 1.3.5.1

Additionnez $a x^{a - 1}$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Étape 1.3.5.2

Réorganisez les facteurs de $a x^{a - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{a - 1} a}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Étape 1.3.5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{a - 1} a$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{b} - 1]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{b} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{b}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{\frac{d}{d x} [x^{b}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = b$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{b x^{b - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{b x^{b - 1} + 0}$

Étape 1.3.9

Simplifiez

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Étape 1.3.9.1

Additionnez $b x^{b - 1}$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{b x^{b - 1}}$

Étape 1.3.9.2

Réorganisez les facteurs de $b x^{b - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{x^{b - 1} b}$

Étape 1.3.9.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x^{b - 1} b$ .

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1}}{b x^{b - 1}}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $x^{a - 1}$ et $x^{b - 1}$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $x^{b - 1}$ à partir de $a x^{a - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{b - 1} (a x^{a - 1 - (b - 1)})}{b x^{b - 1}}$

Étape 1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $x^{b - 1}$ à partir de $b x^{b - 1}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{x^{b - 1} (a x^{a - 1 - (b - 1)})}{x^{b - 1} b}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{x^{b - 1} (a x^{a - 1 - (b - 1)})}{x^{b - 1} b}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 1} \frac{a x^{a - 1 - (b - 1)}}{b}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{a}{b}$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{a}{b} lim_{x \to 1} x^{a - 1 - (b - 1)}$

Étape 2.2

Déplacez l’exposant $a - 1 - (b - 1)$ de $x^{a - 1 - (b - 1)}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{a}{b} {(lim_{x \to 1} x)}^{a - 1 - (b - 1)}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - 1 - (b - 1)}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - 1 - b - - 1}$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - 1 - b + 1}$

Étape 4.2

Associez les termes opposés dans $a - 1 - b + 1$ .

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Étape 4.2.1

Additionnez $- 1$ et $1$ .

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - b + 0}$

Étape 4.2.2

Additionnez $a - b$ et $0$ .

$\frac{a}{b} \cdot 1^{a - b}$

Étape 4.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\frac{a}{b} \cdot 1$

Étape 4.4

Multipliez $\frac{a}{b}$ par $1$ .

$\frac{a}{b}$