Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x + \ln (x)}{1 + \cos (5 π x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - x + \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Étape 1.1.2.3

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 1.1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Étape 1.1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.5.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Étape 1.1.2.5.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Étape 1.1.2.5.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (5 π x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \cos (5 π x)}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{1 + lim_{x \to 1} \cos (5 π x)}$

Étape 1.1.3.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{1 + \cos (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

Étape 1.1.3.1.4

Placez le terme $5 π$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{1 + \cos (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 + \cos (5 π \cdot 1)}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{0}{1 + \cos (5 π)}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{0}{1 + \cos (π)}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Étape 1.1.3.3.1.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x + \ln (x)}{1 + \cos (5 π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x + \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Étape 1.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Étape 1.3.5

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Étape 1.3.6

Simplifiez

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Étape 1.3.6.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Étape 1.3.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (5 π x)]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \cos (5 π x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (5 π x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (5 π x)]}$

Étape 1.3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 + \frac{d}{d x} [\cos (5 π x)]}$

Étape 1.3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos (5 π x)]$ .

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Étape 1.3.9.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 5 π x$ .

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Étape 1.3.9.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [5 π x]}$

Étape 1.3.9.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (u) \frac{d}{d x} [5 π x]}$

Étape 1.3.9.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [5 π x]}$

Étape 1.3.9.2

Comme $5 π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 π x$ par rapport à $x$ est $5 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (5 π x) (5 π \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 1.3.9.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (5 π x) (5 π \cdot 1)}$

Étape 1.3.9.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (5 π x) (5 π)}$

Étape 1.3.9.5

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - 5 \sin (5 π x) π}$

Étape 1.3.10

Simplifiez

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Étape 1.3.10.1

Soustrayez $5 \sin (5 π x) π$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{- 5 \sin (5 π x) π}$

Étape 1.3.10.2

Réorganisez les facteurs de $- 5 \sin (5 π x) π$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{- 5 π \sin (5 π x)}$

Étape 1.4

Associez des termes.

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Étape 1.4.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}{- 5 π \sin (5 π x)}$

Étape 1.4.2

Associez $- 1$ et $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} + \frac{- x}{x}}{- 5 π \sin (5 π x)}$

Étape 1.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - x}{x}}{- 5 π \sin (5 π x)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{- 5 π}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - x}{x}}{\sin (5 π x)}$

Étape 2.2

Simplifiez l’argument limite.

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Étape 2.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x} \cdot \frac{1}{\sin (5 π x)}$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{1 - x}{x}$ par $\frac{1}{\sin (5 π x)}$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x \sin (5 π x)}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 - x}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 3.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

Étape 3.1.2.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.1.2.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

Étape 3.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \sin (5 π x)}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Étape 3.1.3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot \sin (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

Étape 3.1.3.3

Placez le terme $5 π$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Étape 3.1.3.4

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 3.1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Étape 3.1.3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (5 π \cdot 1)}$

Étape 3.1.3.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 3.1.3.5.1

Multipliez $\sin (5 π \cdot 1)$ par $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{\sin (5 π \cdot 1)}$

Étape 3.1.3.5.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{\sin (5 π)}$

Étape 3.1.3.5.3

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{\sin (π)}$

Étape 3.1.3.5.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Étape 3.1.3.5.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.5.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.2

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x \sin (5 π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Étape 3.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Étape 3.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 3.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Étape 3.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Étape 3.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Étape 3.3.5

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (5 π x)]}$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (5 π x)$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \frac{d}{d x} [\sin (5 π x)] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 π x$ .

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Étape 3.3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 π x$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 π x] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.7.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (u) \frac{d}{d x} [5 π x] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 π x$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (5 π x) \frac{d}{d x} [5 π x] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.8

Comme $5 π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 π x$ par rapport à $x$ est $5 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (5 π x) \cdot 5 π \frac{d}{d x} [x] + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (5 π x) \cdot 5 π \cdot 1 + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.10

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (5 π x) \cdot 5 π + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.11

Déplacez $5$ à gauche de $\cos (5 π x)$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 5 \cdot \cos (5 π x) π + \sin (5 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 5 \cos (5 π x) π + \sin (5 π x) \cdot 1}$

Étape 3.3.13

Multipliez $\sin (5 π x)$ par $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 5 \cos (5 π x) π + \sin (5 π x)}$

Étape 3.3.14

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{- 5 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{5 π x \cos (5 π x) + \sin (5 π x)}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} - 1}{lim_{x \to 1} 5 π x \cos (5 π x) + \sin (5 π x)}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $- 1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 1} 5 π x \cos (5 π x) + \sin (5 π x)}$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 1} 5 π x \cos (5 π x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Étape 4.4

Placez le terme $5 π$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cos (5 π x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Étape 4.5

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \cos (5 π x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Étape 4.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (lim_{x \to 1} 5 π x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Étape 4.7

Placez le terme $5 π$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} \sin (5 π x)}$

Étape 4.8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x) + \sin (lim_{x \to 1} 5 π x)}$

Étape 4.9

Placez le terme $5 π$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x) + \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot 1 \cdot \cos (5 π lim_{x \to 1} x) + \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot 1 \cdot \cos (5 π \cdot 1) + \sin (5 π lim_{x \to 1} x)}$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot 1 \cdot \cos (5 π \cdot 1) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot 1 \cdot \cos (5 π \cdot 1) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot \cos (5 π \cdot 1) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Étape 6.2.2

Multipliez $5$ par $1$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot \cos (5 π) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Étape 6.2.3

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot \cos (π) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Étape 6.2.4

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot (- \cos (0)) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Étape 6.2.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot (- 1 \cdot 1) + \sin (5 π \cdot 1)}$

Étape 6.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{5 π \cdot - 1 + \sin (5 π \cdot 1)}$

Étape 6.2.7

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + \sin (5 π \cdot 1)}$

Étape 6.2.8

Multipliez $5$ par $1$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + \sin (5 π)}$

Étape 6.2.9

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + \sin (π)}$

Étape 6.2.10

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + \sin (0)}$

Étape 6.2.11

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π + 0}$

Étape 6.2.12

Additionnez $- 5 π$ et $0$ .

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{- 1}{- 5 π}$

Étape 6.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{5 π}$

Étape 6.4

Multipliez $- \frac{1}{5 π} \cdot \frac{1}{5 π}$ .

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Étape 6.4.1

Multipliez $\frac{1}{5 π}$ par $\frac{1}{5 π}$ .

$- \frac{1}{5 π (5 π)}$

Étape 6.4.2

Multipliez $5$ par $5$ .

$- \frac{1}{25 π π}$

Étape 6.4.3

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{25 (π^{1} π)}$

Étape 6.4.4

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{25 (π^{1} π^{1})}$

Étape 6.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{25 π^{1 + 1}}$

Étape 6.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{1}{25 π^{2}}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{25 π^{2}}$

Forme décimale :

$- 0.00405284 \dots$