Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x + \ln (x)}{1 + \cos (3 π x)}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - x + \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x + lim_{x \to 1} \ln (x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Étape 1.1.2.3

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{1 - lim_{x \to 1} x + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Étape 1.1.2.4

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (lim_{x \to 1} x)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Étape 1.1.2.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1 - 1 + \ln (1)}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Étape 1.1.2.5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.2.5.1

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{1 - 1 + 0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Étape 1.1.2.5.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0 + 0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Étape 1.1.2.5.3

Additionnez $0$ et $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 + \cos (3 π x)}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 1 + lim_{x \to 1} \cos (3 π x)}$

Étape 1.1.3.1.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{1 + lim_{x \to 1} \cos (3 π x)}$

Étape 1.1.3.1.3

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{0}{1 + \cos (lim_{x \to 1} 3 π x)}$

Étape 1.1.3.1.4

Placez le terme $3 π$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{1 + \cos (3 π lim_{x \to 1} x)}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{1 + \cos (3 π \cdot 1)}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1.3.3.1.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{0}{1 + \cos (3 π)}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{0}{1 + \cos (π)}$

Étape 1.1.3.3.1.3

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant. Rendez l’expression négative car le cosinus est négatif dans le deuxième quadrant.

$\frac{0}{1 - \cos (0)}$

Étape 1.1.3.3.1.4

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x + \ln (x)}{1 + \cos (3 π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x + \ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x + \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Étape 1.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Étape 1.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Étape 1.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Étape 1.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Étape 1.3.5

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Étape 1.3.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.6.1

Soustrayez $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{- 1 + \frac{1}{x}}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Étape 1.3.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{d}{d x} [1 + \cos (3 π x)]}$

Étape 1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \cos (3 π x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (3 π x)]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\cos (3 π x)]}$

Étape 1.3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 + \frac{d}{d x} [\cos (3 π x)]}$

Étape 1.3.9

Évaluez $\frac{d}{d x} [\cos (3 π x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.9.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 3 π x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.9.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [3 π x]}$

Étape 1.3.9.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (u) \frac{d}{d x} [3 π x]}$

Étape 1.3.9.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 π x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [3 π x]}$

Étape 1.3.9.2

Comme $3 π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 π x$ par rapport à $x$ est $3 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (3 π x) (3 π \frac{d}{d x} [x])}$

Étape 1.3.9.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (3 π x) (3 π \cdot 1)}$

Étape 1.3.9.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - \sin (3 π x) (3 π)}$

Étape 1.3.9.5

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{0 - 3 \sin (3 π x) π}$

Étape 1.3.10

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.3.10.1

Soustrayez $3 \sin (3 π x) π$ de $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{- 3 \sin (3 π x) π}$

Étape 1.3.10.2

Réorganisez les facteurs de $- 3 \sin (3 π x) π$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1}{- 3 π \sin (3 π x)}$

Étape 1.4

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} - 1 \cdot \frac{x}{x}}{- 3 π \sin (3 π x)}$

Étape 1.4.2

Associez $- 1$ et $\frac{x}{x}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1}{x} + \frac{- x}{x}}{- 3 π \sin (3 π x)}$

Étape 1.4.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - x}{x}}{- 3 π \sin (3 π x)}$

Étape 2

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Placez le terme $\frac{1}{- 3 π}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{1 - x}{x}}{\sin (3 π x)}$

Étape 2.2

Simplifiez l’argument limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x} \cdot \frac{1}{\sin (3 π x)}$

Étape 2.2.2

Multipliez $\frac{1 - x}{x}$ par $\frac{1}{\sin (3 π x)}$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x \sin (3 π x)}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 - x}{lim_{x \to 1} x \sin (3 π x)}$

Étape 3.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} 1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x \sin (3 π x)}$

Étape 3.1.2.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{1 - lim_{x \to 1} x}{lim_{x \to 1} x \sin (3 π x)}$

Étape 3.1.2.3

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.2.3.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} x \sin (3 π x)}$

Étape 3.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \sin (3 π x)}$

Étape 3.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \sin (3 π x)}$

Étape 3.1.3.2

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot \sin (lim_{x \to 1} 3 π x)}$

Étape 3.1.3.3

Placez le terme $3 π$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 1} x \cdot \sin (3 π lim_{x \to 1} x)}$

Étape 3.1.3.4

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.4.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (3 π lim_{x \to 1} x)}$

Étape 3.1.3.4.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{1 \cdot \sin (3 π \cdot 1)}$

Étape 3.1.3.5

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.3.5.1

Multipliez $\sin (3 π \cdot 1)$ par $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{\sin (3 π \cdot 1)}$

Étape 3.1.3.5.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{\sin (3 π)}$

Étape 3.1.3.5.3

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{\sin (π)}$

Étape 3.1.3.5.4

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{\sin (0)}$

Étape 3.1.3.5.5

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.5.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.3.6

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{0}{0}$

Étape 3.2

$lim_{x \to 1} \frac{1 - x}{x \sin (3 π x)} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 π x)]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1 - x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 π x)]}$

Étape 3.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 π x)]}$

Étape 3.3.3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 π x)]}$

Étape 3.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 π x)]}$

Étape 3.3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 π x)]}$

Étape 3.3.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 π x)]}$

Étape 3.3.5

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [x \sin (3 π x)]}$

Étape 3.3.6

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \sin (3 π x)$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \frac{d}{d x} [\sin (3 π x)] + \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 3 π x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 π x$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 π x] + \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.7.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (u) \frac{d}{d x} [3 π x] + \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 π x$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (3 π x) \frac{d}{d x} [3 π x] + \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.8

Comme $3 π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 π x$ par rapport à $x$ est $3 π \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (3 π x) \cdot 3 π \frac{d}{d x} [x] + \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (3 π x) \cdot 3 π \cdot 1 + \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.10

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cos (3 π x) \cdot 3 π + \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.11

Déplacez $3$ à gauche de $\cos (3 π x)$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 3 \cdot \cos (3 π x) π + \sin (3 π x) \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 3.3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 3 \cos (3 π x) π + \sin (3 π x) \cdot 1}$

Étape 3.3.13

Multipliez $\sin (3 π x)$ par $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{x \cdot 3 \cos (3 π x) π + \sin (3 π x)}$

Étape 3.3.14

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{- 3 π} lim_{x \to 1} \frac{- 1}{3 π x \cos (3 π x) + \sin (3 π x)}$

Étape 4

Évaluez la limite.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{lim_{x \to 1} - 1}{lim_{x \to 1} 3 π x \cos (3 π x) + \sin (3 π x)}$

Étape 4.2

Évaluez la limite de $- 1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 1} 3 π x \cos (3 π x) + \sin (3 π x)}$

Étape 4.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{lim_{x \to 1} 3 π x \cos (3 π x) + lim_{x \to 1} \sin (3 π x)}$

Étape 4.4

Placez le terme $3 π$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π lim_{x \to 1} x \cos (3 π x) + lim_{x \to 1} \sin (3 π x)}$

Étape 4.5

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π lim_{x \to 1} x \cdot lim_{x \to 1} \cos (3 π x) + lim_{x \to 1} \sin (3 π x)}$

Étape 4.6

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le cosinus est continu.

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (lim_{x \to 1} 3 π x) + lim_{x \to 1} \sin (3 π x)}$

Étape 4.7

Placez le terme $3 π$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (3 π lim_{x \to 1} x) + lim_{x \to 1} \sin (3 π x)}$

Étape 4.8

Déplacez la limite dans la fonction trigonométrique car le sinus est continu.

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (3 π lim_{x \to 1} x) + \sin (lim_{x \to 1} 3 π x)}$

Étape 4.9

Placez le terme $3 π$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π lim_{x \to 1} x \cdot \cos (3 π lim_{x \to 1} x) + \sin (3 π lim_{x \to 1} x)}$

Étape 5

Évaluez les limites en insérant $1$ pour toutes les occurrences de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot 1 \cdot \cos (3 π lim_{x \to 1} x) + \sin (3 π lim_{x \to 1} x)}$

Étape 5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot 1 \cdot \cos (3 π \cdot 1) + \sin (3 π lim_{x \to 1} x)}$

Étape 5.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{1}{- 3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot 1 \cdot \cos (3 π \cdot 1) + \sin (3 π \cdot 1)}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot 1 \cdot \cos (3 π \cdot 1) + \sin (3 π \cdot 1)}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot \cos (3 π \cdot 1) + \sin (3 π \cdot 1)}$

Étape 6.2.2

Multipliez $3$ par $1$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot \cos (3 π) + \sin (3 π \cdot 1)}$

Étape 6.2.3

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot \cos (π) + \sin (3 π \cdot 1)}$

Étape 6.2.4

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot (- \cos (0)) + \sin (3 π \cdot 1)}$

Étape 6.2.5

La valeur exacte de $\cos (0)$ est $1$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot (- 1 \cdot 1) + \sin (3 π \cdot 1)}$

Étape 6.2.6

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{3 π \cdot - 1 + \sin (3 π \cdot 1)}$

Étape 6.2.7

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{- 3 π + \sin (3 π \cdot 1)}$

Étape 6.2.8

Multipliez $3$ par $1$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{- 3 π + \sin (3 π)}$

Étape 6.2.9

Soustrayez des rotations complètes de $2 π$ jusqu’à ce que l’angle soit supérieur ou égal à $0$ et inférieur à $2 π$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{- 3 π + \sin (π)}$

Étape 6.2.10

Appliquez l’angle de référence en trouvant l’angle avec des valeurs trigonométriques équivalentes dans le premier quadrant.

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{- 3 π + \sin (0)}$

Étape 6.2.11

La valeur exacte de $\sin (0)$ est $0$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{- 3 π + 0}$

Étape 6.2.12

Additionnez $- 3 π$ et $0$ .

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{- 1}{- 3 π}$

Étape 6.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{1}{3 π}$

Étape 6.4

Multipliez $- \frac{1}{3 π} \cdot \frac{1}{3 π}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.4.1

Multipliez $\frac{1}{3 π}$ par $\frac{1}{3 π}$ .

$- \frac{1}{3 π (3 π)}$

Étape 6.4.2

Multipliez $3$ par $3$ .

$- \frac{1}{9 π π}$

Étape 6.4.3

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{9 (π^{1} π)}$

Étape 6.4.4

Élevez $π$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{9 (π^{1} π^{1})}$

Étape 6.4.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{9 π^{1 + 1}}$

Étape 6.4.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{1}{9 π^{2}}$

Étape 7

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{1}{9 π^{2}}$

Forme décimale :

$- 0.01125790 \dots$