Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{5^{x}}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to \infty} x^{5}}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Étape 1.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Étape 1.1.3

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $5^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{\infty}{\infty}$

Étape 1.2

Comme $\frac{\infty}{\infty}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{5}}{5^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{5}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Étape 1.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $5$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{5 x^{4}}{5^{x} \ln (5)}$

Étape 2

Placez le terme $\frac{5}{\ln (5)}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{5}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{5^{x}}$

Étape 3

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 3.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 3.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} x^{4}}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Étape 3.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Étape 3.1.3

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $5^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{\infty}{\infty}$

Étape 3.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{4}}{5^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Étape 3.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 3.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{5}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{5}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $5$ .

$\frac{5}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{4 x^{3}}{5^{x} \ln (5)}$

Étape 4

Placez le terme $\frac{4}{\ln (5)}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{5^{x}}$

Étape 5

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 5.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 5.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{lim_{x \to \infty} x^{3}}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Étape 5.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Étape 5.1.3

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $5^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

Étape 5.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

Étape 5.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{3}}{5^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Étape 5.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 5.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Étape 5.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Étape 5.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $5$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{3 x^{2}}{5^{x} \ln (5)}$

Étape 6

Placez le terme $\frac{3}{\ln (5)}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{5^{x}}$

Étape 7

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 7.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 7.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{lim_{x \to \infty} x^{2}}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Étape 7.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Étape 7.1.3

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $5^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

Étape 7.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

Étape 7.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{5^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Étape 7.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 7.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Étape 7.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Étape 7.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $5$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{2 x}{5^{x} \ln (5)}$

Étape 8

Placez le terme $\frac{2}{\ln (5)}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{x}{5^{x}}$

Étape 9

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 9.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 9.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{lim_{x \to \infty} x}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Étape 9.1.2

La limite à l’infini d’un polynôme dont le coefficient directeur est positif à l’infini.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{\infty}{lim_{x \to \infty} 5^{x}}$

Étape 9.1.3

Comme l’exposant $x$ approche de $\infty$ , la quantité $5^{x}$ approche de $\infty$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

Étape 9.1.4

L’infini divisé l’infini est indéfini.

Indéfini

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{\infty}{\infty}$

Étape 9.2

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{5^{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Étape 9.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 9.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Étape 9.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{d}{d x} [5^{x}]}$

Étape 9.3.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $5$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{5^{x} \ln (5)}$

Étape 10

Placez le terme $\frac{1}{\ln (5)}$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} lim_{x \to \infty} \frac{1}{5^{x}}$

Étape 11

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{5^{x}}$ approche de $0$ .

$\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)} \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Étape 12

Simplifiez la réponse.

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Étape 12.1

Multipliez $\frac{5}{\ln (5)} \cdot \frac{4}{\ln (5)}$ .

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Étape 12.1.1

Multipliez $\frac{5}{\ln (5)}$ par $\frac{4}{\ln (5)}$ .

$\frac{5 \cdot 4}{\ln (5) \ln (5)} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Étape 12.1.2

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{20}{\ln (5) \ln (5)} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Étape 12.1.3

Élevez $\ln (5)$ à la puissance $1$ .

$\frac{20}{\ln^{1} (5) \ln (5)} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Étape 12.1.4

Élevez $\ln (5)$ à la puissance $1$ .

$\frac{20}{\ln^{1} (5) \ln^{1} (5)} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Étape 12.1.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{20}{{\ln (5)}^{1 + 1}} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Étape 12.1.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{20}{\ln^{2} (5)} \cdot \frac{3}{\ln (5)} \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Étape 12.2

Associez.

$\frac{20 \cdot 3}{\ln^{2} (5) \ln (5)} \cdot \frac{2}{\ln (5)} \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Étape 12.3

Associez.

$\frac{20 \cdot 3 \cdot 2}{\ln^{2} (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot \frac{1}{\ln (5)} \cdot 0$

Étape 12.4

Associez.

$\frac{20 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{\ln^{2} (5) \ln (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

Étape 12.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 12.5.1

Multipliez $20$ par $3$ .

$\frac{60 \cdot 2 \cdot 1}{\ln^{2} (5) \ln (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

Étape 12.5.2

Multipliez $60$ par $2$ .

$\frac{120 \cdot 1}{\ln^{2} (5) \ln (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

Étape 12.5.3

Multipliez $120$ par $1$ .

$\frac{120}{\ln^{2} (5) \ln (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

Étape 12.6

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 12.6.1

Élevez $\ln (5)$ à la puissance $1$ .

$\frac{120}{\ln^{2} (5) \ln^{1} (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

Étape 12.6.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{120}{{\ln (5)}^{2 + 1} \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

Étape 12.6.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{120}{\ln^{3} (5) \ln (5) \ln (5)} \cdot 0$

Étape 12.6.4

Élevez $\ln (5)$ à la puissance $1$ .

$\frac{120}{\ln^{3} (5) \ln^{1} (5) \ln (5)} \cdot 0$

Étape 12.6.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{120}{{\ln (5)}^{3 + 1} \ln (5)} \cdot 0$

Étape 12.6.6

Additionnez $3$ et $1$ .

$\frac{120}{\ln^{4} (5) \ln (5)} \cdot 0$

Étape 12.6.7

Multipliez $\ln^{4} (5)$ par $\ln (5)$ en additionnant les exposants.

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Étape 12.6.7.1

Multipliez $\ln^{4} (5)$ par $\ln (5)$ .

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Étape 12.6.7.1.1

Élevez $\ln (5)$ à la puissance $1$ .

$\frac{120}{\ln^{4} (5) \ln^{1} (5)} \cdot 0$

Étape 12.6.7.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{120}{{\ln (5)}^{4 + 1}} \cdot 0$

Étape 12.6.7.2

Additionnez $4$ et $1$ .

$\frac{120}{\ln^{5} (5)} \cdot 0$

Étape 12.7

Multipliez $\frac{120}{\ln^{5} (5)}$ par $0$ .

$0$