Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 1} \frac{{(10 x - 5)}^{2} - 25}{5 x - 5}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 1} {(10 x - 5)}^{2} - 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} {(10 x - 5)}^{2} - lim_{x \to 1} 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Étape 1.1.2.1.2

Déplacez l’exposant $2$ de ${(10 x - 5)}^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\frac{{(lim_{x \to 1} 10 x - 5)}^{2} - lim_{x \to 1} 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Étape 1.1.2.1.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{{(lim_{x \to 1} 10 x - lim_{x \to 1} 5)}^{2} - lim_{x \to 1} 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Étape 1.1.2.1.4

Placez le terme $10$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{{(10 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 5)}^{2} - lim_{x \to 1} 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Étape 1.1.2.1.5

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{{(10 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5)}^{2} - lim_{x \to 1} 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Étape 1.1.2.1.6

Évaluez la limite de $25$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{{(10 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{{(10 \cdot 1 - 1 \cdot 5)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1.1

Multipliez $10$ par $1$ .

$\frac{{(10 - 1 \cdot 5)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Étape 1.1.2.3.1.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{{(10 - 5)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Soustrayez $5$ de $10$ .

$\frac{5^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$\frac{25 - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Étape 1.1.2.3.1.4

Multipliez $- 1$ par $25$ .

$\frac{25 - 25}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $25$ de $25$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 5 x - 5}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} 5 x - lim_{x \to 1} 5}$

Étape 1.1.3.1.2

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 5}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$\frac{0}{5 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 5}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$\frac{0}{5 \cdot 1 - 1 \cdot 5}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{0}{5 - 5}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $5$ de $5$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 1} \frac{{(10 x - 5)}^{2} - 25}{5 x - 5} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(10 x - 5)}^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [{(10 x - 5)}^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Étape 1.3.2

Réécrivez ${(10 x - 5)}^{2}$ comme $(10 x - 5) (10 x - 5)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [(10 x - 5) (10 x - 5) - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Étape 1.3.3

Développez $(10 x - 5) (10 x - 5)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [10 x (10 x - 5) - 5 (10 x - 5) - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Étape 1.3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [10 x (10 x) + 10 x \cdot - 5 - 5 (10 x - 5) - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Étape 1.3.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [10 x (10 x) + 10 x \cdot - 5 - 5 (10 x) - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Étape 1.3.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.3.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.3.4.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [10 \cdot 10 x \cdot x + 10 x \cdot - 5 - 5 (10 x) - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Étape 1.3.4.1.2

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 1.3.4.1.2.1

Déplacez $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [10 \cdot 10 (x \cdot x) + 10 x \cdot - 5 - 5 (10 x) - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Étape 1.3.4.1.2.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [10 \cdot 10 x^{2} + 10 x \cdot - 5 - 5 (10 x) - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Étape 1.3.4.1.3

Multipliez $10$ par $10$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [100 x^{2} + 10 x \cdot - 5 - 5 (10 x) - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Étape 1.3.4.1.4

Multipliez $- 5$ par $10$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [100 x^{2} - 50 x - 5 (10 x) - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Étape 1.3.4.1.5

Multipliez $10$ par $- 5$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [100 x^{2} - 50 x - 50 x - 5 \cdot - 5 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Étape 1.3.4.1.6

Multipliez $- 5$ par $- 5$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [100 x^{2} - 50 x - 50 x + 25 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Étape 1.3.4.2

Soustrayez $50 x$ de $- 50 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [100 x^{2} - 100 x + 25 - 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Étape 1.3.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $100 x^{2} - 100 x + 25 - 25$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100 x] + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [100 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100 x] + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Étape 1.3.6

Évaluez $\frac{d}{d x} [100 x^{2}]$ .

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Étape 1.3.6.1

Comme $100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $100 x^{2}$ par rapport à $x$ est $100 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{100 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 100 x] + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Étape 1.3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{100 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 100 x] + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Étape 1.3.6.3

Multipliez $2$ par $100$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x + \frac{d}{d x} [- 100 x] + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Étape 1.3.7

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 100 x]$ .

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Étape 1.3.7.1

Comme $- 100$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 100 x$ par rapport à $x$ est $- 100 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Étape 1.3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Étape 1.3.7.3

Multipliez $- 100$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100 + \frac{d}{d x} [25] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Étape 1.3.8

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100 + 0 + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Étape 1.3.9

Comme $- 25$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 25$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100 + 0 + 0}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Étape 1.3.10

Associez des termes.

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Étape 1.3.10.1

Additionnez $200 x - 100$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100 + 0}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Étape 1.3.10.2

Additionnez $200 x - 100$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{\frac{d}{d x} [5 x - 5]}$

Étape 1.3.11

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x - 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.12

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Étape 1.3.12.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.12.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.12.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{5 + \frac{d}{d x} [- 5]}$

Étape 1.3.13

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{5 + 0}$

Étape 1.3.14

Additionnez $5$ et $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{200 x - 100}{5}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $200 x - 100$ et $5$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $5$ à partir de $200 x$ .

$lim_{x \to 1} \frac{5 (40 x) - 100}{5}$

Étape 1.4.2

Factorisez $5$ à partir de $- 100$ .

$lim_{x \to 1} \frac{5 (40 x) + 5 \cdot - 20}{5}$

Étape 1.4.3

Factorisez $5$ à partir de $5 (40 x) + 5 (- 20)$ .

$lim_{x \to 1} \frac{5 (40 x - 20)}{5}$

Étape 1.4.4

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.4.1

Factorisez $5$ à partir de $5$ .

$lim_{x \to 1} \frac{5 (40 x - 20)}{5 (1)}$

Étape 1.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 1} \frac{5 (40 x - 20)}{5 \cdot 1}$

Étape 1.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 1} \frac{40 x - 20}{1}$

Étape 1.4.4.4

Divisez $40 x - 20$ par $1$ .

$lim_{x \to 1} 40 x - 20$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $1$ .

$lim_{x \to 1} 40 x - lim_{x \to 1} 20$

Étape 2.2

Placez le terme $40$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$40 lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 20$

Étape 2.3

Évaluez la limite de $20$ qui est constante lorsque $x$ approche de $1$ .

$40 lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 20$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $1$ pour $x$ .

$40 \cdot 1 - 1 \cdot 20$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.1.1

Multipliez $40$ par $1$ .

$40 - 1 \cdot 20$

Étape 4.1.2

Multipliez $- 1$ par $20$ .

$40 - 20$

Étape 4.2

Soustrayez $20$ de $40$ .

$20$