Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{5}{x \sqrt{1 + x}} - \frac{5}{x}$

Étape 1

Associez des termes.

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Étape 1.1

Pour écrire $- \frac{5}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5}{x \sqrt{1 + x}} - \frac{5}{x} \cdot \frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{5}{x}$ par $\frac{\sqrt{1 + x}}{\sqrt{1 + x}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{5}{x \sqrt{1 + x}} - \frac{5 \sqrt{1 + x}}{x \sqrt{1 + x}}$

Étape 1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \sqrt{1 + x}}{x \sqrt{1 + x}}$

Étape 2

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 2.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 5 - 5 \sqrt{1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Étape 2.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 2.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 2.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 5 - lim_{x \to 0} 5 \sqrt{1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Étape 2.1.2.1.2

Évaluez la limite de $5$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{5 - lim_{x \to 0} 5 \sqrt{1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Étape 2.1.2.1.3

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\frac{5 - 5 lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Étape 2.1.2.1.4

Placez la limite sous le radical.

$\frac{5 - 5 \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Étape 2.1.2.1.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{5 - 5 \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Étape 2.1.2.1.6

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{5 - 5 \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Étape 2.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{5 - 5 \sqrt{1 + 0}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Étape 2.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.2.3.1.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{5 - 5 \sqrt{1}}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Étape 2.1.2.3.1.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{5 - 5 \cdot 1}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Étape 2.1.2.3.1.3

Multipliez $- 5$ par $1$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Étape 2.1.2.3.2

Soustrayez $5$ de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \sqrt{1 + x}}$

Étape 2.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 2.1.3.1

Divisez la limite en utilisant la règle du produit des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot lim_{x \to 0} \sqrt{1 + x}}$

Étape 2.1.3.2

Placez la limite sous le radical.

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + x}}$

Étape 2.1.3.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sqrt{lim_{x \to 0} 1 + lim_{x \to 0} x}}$

Étape 2.1.3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} x \cdot \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}}$

Étape 2.1.3.5

Évaluez les limites en insérant $0$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 2.1.3.5.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1 + lim_{x \to 0} x}}$

Étape 2.1.3.5.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1 + 0}}$

Étape 2.1.3.6

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.1.3.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{0}{0 \cdot \sqrt{1}}$

Étape 2.1.3.6.2

Toute racine de $1$ est $1$ .

$\frac{0}{0 \cdot 1}$

Étape 2.1.3.6.3

Multipliez $0$ par $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.6.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.3.7

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 2.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{5 - 5 \sqrt{1 + x}}{x \sqrt{1 + x}} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 - 5 \sqrt{1 + x}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Étape 2.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 2.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5 - 5 \sqrt{1 + x}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Étape 2.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - 5 \sqrt{1 + x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{1 + x}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{1 + x}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Étape 2.3.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{1 + x}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Étape 2.3.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 \sqrt{1 + x}]$ .

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Étape 2.3.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x}$ comme ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- 5 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Étape 2.3.4.2

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 \frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}]}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Étape 2.3.4.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 + x$ .

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Étape 2.3.4.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x])}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Étape 2.3.4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x])}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Étape 2.3.4.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x])}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Étape 2.3.4.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Étape 2.3.4.5

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [x]))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Étape 2.3.4.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Étape 2.3.4.7

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Étape 2.3.4.8

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Étape 2.3.4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Étape 2.3.4.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.4.10.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Étape 2.3.4.10.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{- 1}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Étape 2.3.4.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} (0 + 1))}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Étape 2.3.4.12

Additionnez $0$ et $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Étape 2.3.4.13

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 (\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1)}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Étape 2.3.4.14

Multipliez $\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 \frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Étape 2.3.4.15

Placez ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 - 5 \frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Étape 2.3.4.16

Associez $- 5$ et $\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{0 + \frac{- 5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Étape 2.3.4.17

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{0 - \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Étape 2.3.5

Soustrayez $\frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x \sqrt{1 + x}]}$

Étape 2.3.6

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{1 + x}$ comme ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}]}$

Étape 2.3.7

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x \frac{d}{d x} [{(1 + x)}^{\frac{1}{2}}] + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.8

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = 1 + x$ .

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Étape 2.3.8.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.8.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.8.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.9

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.10

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.11

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.12

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.12.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.12.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.13

Placez le signe moins devant la fraction.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2} {(1 + x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.14

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{{(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.15

Placez ${(1 + x)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{x (\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.16

Associez $\frac{1}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ et $x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [1 + x] + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.17

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.18

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.19

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x] + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.20

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1 + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.21

Multipliez $\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]}$

Étape 2.3.22

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1}$

Étape 2.3.23

Multipliez ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.3.24

Pour écrire ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.25

Associez ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.26

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.27

Multipliez ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.27.1

Déplacez ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} {(1 + x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.27.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.27.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.27.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.27.5

Divisez $2$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + {(1 + x)}^{1} \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.28

Simplifiez ${(1 + x)}^{1} \cdot 2$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + (1 + x) \cdot 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.29

Déplacez $2$ à gauche de $1 + x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 2 \cdot (1 + x)}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.30

Simplifiez

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Étape 2.3.30.1

Appliquez la propriété distributive.

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 2 \cdot 1 + 2 x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.30.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.3.30.2.1

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{x + 2 + 2 x}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.3.30.2.2

Additionnez $x$ et $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{- \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}{\frac{3 x + 2}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}}$

Étape 2.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{x \to 0} - \frac{5}{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{3 x + 2}$

Étape 2.5

Convertissez les exposants fractionnaires en radicaux.

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Étape 2.5.1

Réécrivez ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{1 + x}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{5}{2 \sqrt{1 + x}} \cdot \frac{2 {(1 + x)}^{\frac{1}{2}}}{3 x + 2}$

Étape 2.5.2

Réécrivez ${(1 + x)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{1 + x}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{5}{2 \sqrt{1 + x}} \cdot \frac{2 \sqrt{1 + x}}{3 x + 2}$

Étape 2.6

Combinez les facteurs.

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Étape 2.6.1

Multipliez $\frac{2 \sqrt{1 + x}}{3 x + 2}$ par $\frac{5}{2 \sqrt{1 + x}}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{2 \sqrt{1 + x} \cdot 5}{(3 x + 2) (2 \sqrt{1 + x})}$

Étape 2.6.2

Multipliez $5$ par $2$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{10 \sqrt{1 + x}}{(3 x + 2) (2 \sqrt{1 + x})}$

Étape 2.7

Réduisez.

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Étape 2.7.1

Annulez le facteur commun à $10$ et $2$ .

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Étape 2.7.1.1

Factorisez $2$ à partir de $10 \sqrt{1 + x}$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (5 \sqrt{1 + x})}{(3 x + 2) (2 \sqrt{1 + x})}$

Étape 2.7.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.7.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $(3 x + 2) (2 \sqrt{1 + x})$ .

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (5 \sqrt{1 + x})}{2 ((3 x + 2) (\sqrt{1 + x}))}$

Étape 2.7.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} - \frac{2 (5 \sqrt{1 + x})}{2 ((3 x + 2) (\sqrt{1 + x}))}$

Étape 2.7.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} - \frac{5 \sqrt{1 + x}}{(3 x + 2) (\sqrt{1 + x})}$

Étape 2.7.2

Annulez le facteur commun de $\sqrt{1 + x}$ .

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Étape 2.7.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} - \frac{5 \sqrt{1 + x}}{(3 x + 2) \sqrt{1 + x}}$

Étape 2.7.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} - \frac{5}{3 x + 2}$

Étape 3

Évaluez la limite.

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Étape 3.1

Placez le terme $- 1$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- lim_{x \to 0} \frac{5}{3 x + 2}$

Étape 3.2

Placez le terme $5$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 5 lim_{x \to 0} \frac{1}{3 x + 2}$

Étape 3.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$- 5 \frac{lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 3 x + 2}$

Étape 3.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to 0} 3 x + 2}$

Étape 3.5

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$- 5 \frac{1}{lim_{x \to 0} 3 x + lim_{x \to 0} 2}$

Étape 3.6

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$- 5 \frac{1}{3 lim_{x \to 0} x + lim_{x \to 0} 2}$

Étape 3.7

Évaluez la limite de $2$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$- 5 \frac{1}{3 lim_{x \to 0} x + 2}$

Étape 4

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$- 5 \frac{1}{3 \cdot 0 + 2}$

Étape 5

Simplifiez la réponse.

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Étape 5.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.1.1

Multipliez $3$ par $0$ .

$- 5 \frac{1}{0 + 2}$

Étape 5.1.2

Additionnez $0$ et $2$ .

$- 5 (\frac{1}{2})$

Étape 5.2

Associez $- 5$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 5}{2}$

Étape 5.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{5}{2}$

Étape 6

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$- \frac{5}{2}$

Forme décimale :

$- 2.5$