Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 0} \frac{7^{2 x} - 1}{7^{x} - 1}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{x \to 0} 7^{2 x} - 1}{lim_{x \to 0} 7^{x} - 1}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{x \to 0} 7^{2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 7^{x} - 1}$

Étape 1.1.2.1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{7^{lim_{x \to 0} 2 x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 7^{x} - 1}$

Étape 1.1.2.1.3

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{7^{2 lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}{lim_{x \to 0} 7^{x} - 1}$

Étape 1.1.2.1.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{7^{2 lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 7^{x} - 1}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{7^{2 \cdot 0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 7^{x} - 1}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.2.3.1.1

Multipliez $2$ par $0$ .

$\frac{7^{0} - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 7^{x} - 1}$

Étape 1.1.2.3.1.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 0} 7^{x} - 1}$

Étape 1.1.2.3.1.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 0} 7^{x} - 1}$

Étape 1.1.2.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 7^{x} - 1}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.3.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.3.1.1

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 0} 7^{x} - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 1.1.3.1.2

Placez la limite dans l’exposant.

$\frac{0}{7^{lim_{x \to 0} x} - lim_{x \to 0} 1}$

Étape 1.1.3.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $0$ .

$\frac{0}{7^{lim_{x \to 0} x} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$\frac{0}{7^{0} - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.3.1.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Étape 1.1.3.3.2

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.3.3

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.3.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{x \to 0} \frac{7^{2 x} - 1}{7^{x} - 1} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [7^{x} - 1]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7^{2 x} - 1]}{\frac{d}{d x} [7^{x} - 1]}$

Étape 1.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7^{2 x} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [7^{2 x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [7^{x} - 1]}$

Étape 1.3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7^{2 x}]$ .

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Étape 1.3.3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = 7^{x}$ et $g (x) = 2 x$ .

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Étape 1.3.3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [7^{u}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [7^{x} - 1]}$

Étape 1.3.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $7$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7^{u} \ln (7) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [7^{x} - 1]}$

Étape 1.3.3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7^{2 x} \ln (7) \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [7^{x} - 1]}$

Étape 1.3.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7^{2 x} \ln (7) (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [7^{x} - 1]}$

Étape 1.3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7^{2 x} \ln (7) (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [7^{x} - 1]}$

Étape 1.3.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7^{2 x} \ln (7) \cdot 2 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [7^{x} - 1]}$

Étape 1.3.3.5

Déplacez $2$ à gauche de $7^{2 x} \ln (7)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 7^{2 x} \ln (7) + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [7^{x} - 1]}$

Étape 1.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 7^{2 x} \ln (7) + 0}{\frac{d}{d x} [7^{x} - 1]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $2 \cdot 7^{2 x} \ln (7)$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 7^{2 x} \ln (7)}{\frac{d}{d x} [7^{x} - 1]}$

Étape 1.3.6

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7^{x} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 7^{2 x} \ln (7)}{\frac{d}{d x} [7^{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.7

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $7$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 7^{2 x} \ln (7)}{7^{x} \ln (7) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Étape 1.3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 7^{2 x} \ln (7)}{7^{x} \ln (7) + 0}$

Étape 1.3.9

Additionnez $7^{x} \ln (7)$ et $0$ .

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 7^{2 x} \ln (7)}{7^{x} \ln (7)}$

Étape 1.4

Réduisez.

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun à $7^{2 x}$ et $7^{x}$ .

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Étape 1.4.1.1

Factorisez $7^{x}$ à partir de $2 \cdot 7^{2 x} \ln (7)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7^{x} (2 \cdot 7^{x} \ln (7))}{7^{x} \ln (7)}$

Étape 1.4.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.1.2.1

Factorisez $7^{x}$ à partir de $7^{x} \ln (7)$ .

$lim_{x \to 0} \frac{7^{x} (2 \cdot 7^{x} \ln (7))}{7^{x} (\ln (7))}$

Étape 1.4.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{7^{x} (2 \cdot 7^{x} \ln (7))}{7^{x} \ln (7)}$

Étape 1.4.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 7^{x} \ln (7)}{\ln (7)}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $\ln (7)$ .

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Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 7^{x} \ln (7)}{\ln (7)}$

Étape 1.4.2.2

Divisez $2 \cdot 7^{x}$ par $1$ .

$lim_{x \to 0} 2 \cdot 7^{x}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Placez le terme $2$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$2 lim_{x \to 0} 7^{x}$

Étape 2.2

Placez la limite dans l’exposant.

$2 \cdot 7^{lim_{x \to 0} x}$

Étape 3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $0$ pour $x$ .

$2 \cdot 7^{0}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 4.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$