Calcul infinitésimal Exemples

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x} d x$

Étape 1

Laissez $x = 3 \sec (t)$ , où $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Puis $d x = 3 \sec (t) \tan (t) d t$ . Depuis $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $3 \sec (t) \tan (t)$ est positif.

$\int \frac{\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2

Simplifiez les termes.

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Étape 2.1

Simplifiez $\sqrt{{(3 \sec (t))}^{2} - 9}$ .

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Étape 2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1.1

Appliquez la règle de produit à $3 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{3^{2} \sec^{2} (t) - 9}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.1.2

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) - 9}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.2

Factorisez $9$ à partir de $9 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t)) - 9}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.3

Factorisez $9$ à partir de $- 9$ .

$\int \frac{\sqrt{9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.4

Factorisez $9$ à partir de $9 \sec^{2} (t) + 9 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{9 (\sec^{2} (t) - 1)}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.5

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\int \frac{\sqrt{9 \tan^{2} (t)}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.6

Réécrivez $9 \tan^{2} (t)$ comme ${(3 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(3 \tan (t))}^{2}}}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.1.7

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\int \frac{3 \tan (t)}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $3 \sec (t)$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $3 \sec (t)$ à partir de $3 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{3 \tan (t)}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) (\tan (t))) d t$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{3 \tan (t)}{3 \sec (t)} (3 \sec (t) \tan (t)) d t$

Étape 2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\int 3 \tan (t) \tan (t) d t$

Étape 3

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$\int 3 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Étape 4

Élevez $\tan (t)$ à la puissance $1$ .

$\int 3 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Étape 5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int 3 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Étape 6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int 3 \tan^{2} (t) d t$

Étape 7

Comme $3$ est constant par rapport à $t$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \tan^{2} (t) d t$

Étape 8

Utilisez l’identité pythagoricienne pour réécrire $\tan^{2} (t)$ comme $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$3 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Étape 9

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$3 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Étape 10

Appliquez la règle de la constante.

$3 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

Étape 11

Comme la dérivée de $\tan (t)$ est $\sec^{2} (t)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (t)$ est $\tan (t)$ .

$3 (- t + C + \tan (t) + C)$

Étape 12

Simplifiez

$3 (- t + \tan (t)) + C$

Étape 13

Remplacez toutes les occurrences de $t$ par $arcsec (\frac{x}{3})$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \tan (arcsec (\frac{x}{3}))) + C$

Étape 14

Simplifiez

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Étape 14.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 14.1.1

Tracez un triangle dans le plan avec des sommets $(1, \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ , et l’origine. Alors $arcsec (\frac{x}{3})$ est l’angle entre l’abscisse positif et le rayon qui commence à l’origine et passe par $(1, \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1^{2}})$ . Ainsi, $\tan (arcsec (\frac{x}{3}))$ est $\sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1}$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1}) + C$

Étape 14.1.2

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{{(\frac{x}{3})}^{2} - 1^{2}}) + C$

Étape 14.1.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = \frac{x}{3}$ et $b = 1$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{(\frac{x}{3} + 1) (\frac{x}{3} - 1)}) + C$

Étape 14.1.4

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{(\frac{x}{3} + \frac{3}{3}) (\frac{x}{3} - 1)}) + C$

Étape 14.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{x + 3}{3} (\frac{x}{3} - 1)}) + C$

Étape 14.1.6

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{x + 3}{3} (\frac{x}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3})}) + C$

Étape 14.1.7

Associez $- 1$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{x + 3}{3} (\frac{x}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3})}) + C$

Étape 14.1.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{x + 3}{3} \cdot \frac{x - 1 \cdot 3}{3}}) + C$

Étape 14.1.9

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{x + 3}{3} \cdot \frac{x - 3}{3}}) + C$

Étape 14.1.10

Multipliez $\frac{x + 3}{3}$ par $\frac{x - 3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{3 \cdot 3}}) + C$

Étape 14.1.11

Multipliez $3$ par $3$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{(x + 3) (x - 3)}{9}}) + C$

Étape 14.1.12

Réécrivez $\frac{(x + 3) (x - 3)}{9}$ comme ${(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 3) (x - 3))$ .

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Étape 14.1.12.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $(x + 3) (x - 3)$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 3) (x - 3))}{9}}) + C$

Étape 14.1.12.2

Factorisez la puissance parfaite $3^{2}$ dans $9$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 3) (x - 3))}{3^{2} \cdot 1}}) + C$

Étape 14.1.12.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} ((x + 3) (x - 3))}{3^{2} \cdot 1}$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{{(\frac{1}{3})}^{2} ((x + 3) (x - 3))}) + C$

Étape 14.1.13

Extrayez les termes de sous le radical.

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \frac{1}{3} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + C$

Étape 14.1.14

Associez $\frac{1}{3}$ et $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) + \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{3}) + C$

Étape 14.2

Pour écrire $- arcsec (\frac{x}{3})$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$3 (- arcsec (\frac{x}{3}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{3}) + C$

Étape 14.3

Associez $- arcsec (\frac{x}{3})$ et $\frac{3}{3}$ .

$3 (\frac{- arcsec (\frac{x}{3}) \cdot 3}{3} + \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{3}) + C$

Étape 14.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$3 \frac{- arcsec (\frac{x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{3} + C$

Étape 14.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 14.5.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{- arcsec (\frac{x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{3} + C$

Étape 14.5.2

Réécrivez l’expression.

$- arcsec (\frac{x}{3}) \cdot 3 + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + C$

Étape 14.6

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$- 3 arcsec (\frac{x}{3}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + C$

Étape 15

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 arcsec (\frac{1}{3} x) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + C$