Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to 2} \sqrt{\frac{x^{2} + 3 x + 4}{x^{3} + 1}}$

Étape 1

Placez la limite sous le radical.

$\sqrt{lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + 3 x + 4}{x^{3} + 1}}$

Étape 2

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + 3 x + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} + 1}}$

Étape 3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\sqrt{\frac{lim_{x \to 2} x^{2} + lim_{x \to 2} 3 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{3} + 1}}$

Étape 4

Déplacez l’exposant $2$ de $x^{2}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + lim_{x \to 2} 3 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{3} + 1}}$

Étape 5

Placez le terme $3$ hors de la limite car il constant par rapport à $x$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{3} + 1}}$

Étape 6

Évaluez la limite de $4$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} + 1}}$

Étape 7

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $2$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} 1}}$

Étape 8

Déplacez l’exposant $3$ de $x^{3}$ hors de la limite en utilisant la règle des puissances limites.

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x + 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} 1}}$

Étape 9

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $2$ .

$\sqrt{\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 2} x + 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 1}}$

Étape 10

Évaluez les limites en insérant $2$ pour toutes les occurrences de $x$ .

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Étape 10.1

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\sqrt{\frac{2^{2} + 3 lim_{x \to 2} x + 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 1}}$

Étape 10.2

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\sqrt{\frac{2^{2} + 3 \cdot 2 + 4}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 1}}$

Étape 10.3

Évaluez la limite de $x$ en insérant $2$ pour $x$ .

$\sqrt{\frac{2^{2} + 3 \cdot 2 + 4}{2^{3} + 1}}$

Étape 11

Simplifiez la réponse.

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Étape 11.1

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$\sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 2 + 4}{2^{3} + 1}}$

Étape 11.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$\sqrt{\frac{4 + 6 + 4}{2^{3} + 1}}$

Étape 11.3

Additionnez $4$ et $6$ .

$\sqrt{\frac{10 + 4}{2^{3} + 1}}$

Étape 11.4

Additionnez $10$ et $4$ .

$\sqrt{\frac{14}{2^{3} + 1}}$

Étape 11.5

Élevez $2$ à la puissance $3$ .

$\sqrt{\frac{14}{8 + 1}}$

Étape 11.6

Additionnez $8$ et $1$ .

$\sqrt{\frac{14}{9}}$

Étape 11.7

Réécrivez $\sqrt{\frac{14}{9}}$ comme $\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{9}}$ .

$\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{9}}$

Étape 11.8

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 11.8.1

Réécrivez $9$ comme $3^{2}$ .

$\frac{\sqrt{14}}{\sqrt{3^{2}}}$

Étape 11.8.2

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$\frac{\sqrt{14}}{3}$

Étape 12

Le résultat peut être affiché en différentes formes.

Forme exacte :

$\frac{\sqrt{14}}{3}$

Forme décimale :

$1.24721912 \dots$