Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{x \to \infty} \frac{4 - x^{2}}{x^{2} - 1}$

Étape 1

Divisez le numérateur et le dénominateur par la plus forte puissance de $x$ dans le dénominateur, qui est $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - \frac{x^{2}}{x^{2}}}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1 \cdot 1}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 2.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 2.2.1

Annulez le facteur commun.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{\frac{x^{2}}{x^{2}} - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 2.2.2

Réécrivez l’expression.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{4}{x^{2}} - 1}{1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - 1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 2.4

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \frac{4}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 2.5

Placez le terme $4$ hors de la limite car il est constant par rapport à $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}} - lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 3

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 - lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 4

Évaluez la limite.

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Étape 4.1

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \infty} 1 - \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 4.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to \infty} 1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 4.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $x$ approche de $\infty$ .

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{1 - lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}$

Étape 5

Comme son numérateur approche d’un nombre réel alors que son dénominateur n’a pas de borne, la fraction $\frac{1}{x^{2}}$ approche de $0$ .

$\frac{4 \cdot 0 - 1 \cdot 1}{1 - 0}$

Étape 6

Simplifiez la réponse.

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Étape 6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1

Multipliez $4$ par $0$ .

$\frac{0 - 1 \cdot 1}{1 - 0}$

Étape 6.1.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{0 - 1}{1 - 0}$

Étape 6.1.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{- 1}{1 - 0}$

Étape 6.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$\frac{- 1}{1 + 0}$

Étape 6.2.2

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{- 1}{1}$

Étape 6.3

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$